Construcción de un conjunto de Borel

Question

He estado intentando resolver esta cuestión pero no he llegado a ninguna parte

Partiendo de una base contable de $\mathbb R$ se me pide que construya un conjunto de Borel tal que $0<m(E \cap I)<m(I)$ para cada segmento no vacío I.

Y luego debe $E$ ser de medida infinita?

Aquí $m$ denota la medida de Lebesgue

Answer 1

Sugerencia: para una base, tome los intervalos $(a,b)$ donde $a < b$ son racionales.
Para su conjunto $E$ , tome una unión de "conjuntos de Cantor gordos", uno para cada uno de estos intervalos.

Answer 2

Creo que lo siguiente funciona; dejaré que te preocupes de verificarlo.

Diga $(r_j)$ es una secuencia densa. Elija $a_j>0$ para que $$a_k>\sum_{j=k+1}^\infty a_j,$$ por ejemplo $a_j=1/3^j$ Entonces, defina $$I_j=(r_j-a_j,r_j+a_j),$$ $$E_k=I_k\setminus\bigcup_{j=k+1}^\infty I_j$$ y $$E=\bigcup E_k.$$