¿Cómo es que el siguiente límite es cierto?

Question

$ {(1)\space \displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).} $ ¿Cómo es eso cierto, dado que el delta se define de esa manera $(2)\space \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}.$ Y por qué la Transformada de Fourier en nuestro curso usamos la definición número (2) aunque la definición (1) se alinea mejor con la Transformada de Fourier del coseno y el seno.

Answer 1

El $\delta$ la distribución es no definió la forma de escribir. Una definición más correcta es $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) \, f(x) \, dx = f(0),$$ donde $f$ es una función "bonita".

Para demostrar que $\frac{\sin \frac{\pi x}{a}}{\pi x} \to \delta(x)$ tenemos que demostrar que $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \frac{\pi x}{a}}{\pi x} \, f(x) \, dx \to f(0) $$ cuando $a\to 0$ y $f$ es una función "bonita".

Y, utilizando la sustitución $y=\frac{\pi x}{a},$ tenemos $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin \frac{\pi x}{a}}{\pi x} \, f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin y}{ay} \, f(\frac{ay}{\pi}) \, \frac{a\,dy}{\pi} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin y}{y} \, f(\frac{ay}{\pi}) \, dy \to \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin y}{y} \, f(0) \, dy \\ = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin y}{y} \, dy \, f(0) = f(0) $$ desde $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin y}{y}=\pi.$