Son enteros mod n una única factorización de dominio?

Question

Estoy tratando de aprender álgebra abstracta a partir de cero, jolly cosas, pero en el proceso de hacerlo, este rompecabezas de mí:

Tener un anillo de enteros mod n, donde $n=pq$ es compuesto, como yo lo entiendo, tenemos que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es el Principal Ideal de Dominio (PID) (con esto ME pregunta). Por lo tanto, por la bonita cadena de inclusiones encuentra aquí, es también una única factorización de dominio.

Y aquí es donde yo estoy perdido, como yo sigo pensando, por ejemplo, $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ donde puedo tener $4\equiv 2*2 \equiv 2*2*5 \mod 8$. También, $p*q \equiv 0 \mod n$, lo que da a dos personas que no son divisores de cero de cero. En mi mundo, esto significa que $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ no es un UFD y ni siquiera integral de dominio.

Me siento como que me falta algo muy simple pero crucial :-).

Answer 1

Al $\,n\,$ está compuesto $\,\Bbb Z/n\,$ no es una integral de dominio. La factorización de la teoría es mucho más complicado en la no-dominios, por ejemplo, $\rm\:x = (3+2x)(2-3x)\in \Bbb Z_6[x].\:$ nociones Básicas tales como asociado y irreductible se bifurcan en un par de no equivalentes las nociones, por ejemplo, ver

Cuando se Asocia Unidad Múltiplos?
D. D. Anderson, M. Axtell, S. J. Forman, y Joe Stickles.
Rocky Mountain J. Math. Volumen 34, Número 3 (2004), 811-828.

Factorización en Anillos Conmutativos con Cero divisores.
D. D. Anderson, Silvia Valdés-León.
Rocky Mountain J. Math. Volumen 28, Número 2 (1996), 439-480

Answer 2

Se han interpretado mal la pregunta a la que se enlaza. Lo que se afirma no es que todos los ideales de a $\mathbb Z/n$ son principales. Pero no $\mathbb Z/n$ un PID a menos que sea una parte integral de dominio, y, como Bill Dubuque, dijo, que sólo ocurre cuando se $n$ es primo.