Cuando $X_{(i)}-X_{(i-1)}\sim \exp (i\lambda)$ ¿es cierto?

Question

Estoy tratando de averiguar la conexión entre la diferencia entre dos variables estadísticas de orden y la distribución exponencial. He visto tema anterior pero es muy complejo de entender (matemáticas superiores a las que conozco actualmente). No estoy familiarizado con la distribución Chi-cuadrado. ¿Cuál es la relación entre las variables estadísticas de dos órdenes y la distribución exponencial? ¿cuándo se cumple? En un examen tuve la siguiente pregunta:

En un servicio de taxi en $00:00$ hay $8$ coches. Cada coche recibe una llamada telefónica con la distribución de la pasión de $2$ llamadas en una hora. Cada taxi que recibe una llamada, se va y no vuelve. Encuentra el valor esperado hasta que el servicio de taxis se quede sin coches.

En la solución tenían la siguiente ecuación: $$ \sum_{i=1}^8 E(X_{(i)}-X_{(i-1)})=\sum_{i=1}^8 \frac{1}{i\cdot \lambda} $$

Afirmaron que $X_i$ es la hora de salida del taxi $i$ y queremos $E(X_{(8)})$ .

Cuando $X_{(i)}-X_{(i-1)}\sim \exp (i\lambda)$ es cierto y cómo puedo encontrar $\lambda$ ?

EDITAR : La pregunta es por qué si $X_1,\ldots X_n \sim Pois(\lambda)$ puis $X_{(i)}-X_{(i-1)}\sim \exp (i\lambda)$ ?

Answer 1

Tenga en cuenta que $X_1, \ldots, X_n\overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \text{Exponential}(\lambda)$ donde $\lambda = 2$ . Son no Poisson.

$X_{(1)} = \min\{X_1, \ldots, X_n\}$ es la hora de la primera salida. Es un ejercicio común para demostrar que $X_{(1)} \sim \text{Exponential}(n\lambda)$ . Así, $E[X_{(1)}] = \frac{1}{n\lambda}$ .

Ahora, utiliza la propiedad de ausencia de memoria de la distribución exponencial. Es decir, $P(X_i > t +s \mid X_i > t) = P(X_i > s)$ . Esto implica que, condicionado a que el taxi más temprano salga a la hora $t$ El adicional tiempo hasta la salida de cada uno de los otros taxis es también $\text{Exponential}(\lambda)$ . En particular, el tiempo entre la primera salida y la segunda salida $X_{(2)}-X_{(1)}$ es el mínimo de $n-1$ i.i.d. $\text{Exponential}(\lambda)$ variables aleatorias, que es $\text{Exponential}((n-1)\lambda)$ y tiene media $\frac{1}{(n-1)\lambda}$ .