Probabilidad en el lanzamiento de una moneda infinita

Question

Dejemos que $X_n$ denota el resultado aleatorio del $n^{th}$ lanzar la moneda. En cada lanzamiento una moneda muestra una cabeza con probabilidad $p$ y una cola con probabilidad $1-p$ , donde $0\lt p \lt 1.$ Es decir \begin{equation} X_n = \begin{cases} \text{H} & \text{with probability } p\\ \text{T} & \text{with probability } 1-p \end{cases} \end{equation} Asumir la independencia de los resultados individuales $X_n$ , demuestran que $\mathbb{P}[X_n = \text{H} \quad \text{i.o.}] = 1$ y $\mathbb{P}[X_n=\text{T}\quad \text{i.o.}] = 1$ (i.o. significa infinitamente a menudo ).

Comentario: parece que tiene algo que ver con la ley 0-1 de Kolmogorov, pero no soy capaz de explotarla para responder a la pregunta.

Answer 1

Aplicar 2º Borel-Cantelli lema y obtendrás el resultado.

Tienes razón, aquí el limsup es un cola evento y con Kolmogorov $0-1$ ley se puede decir que tiene una probabilidad $1$ o $0$ . Sin embargo, aplicando $2nd$ Con el lema de Borel-Cantelli se obtiene que la probabilidad es $1$ como sugería la intuición.