Demostrar que $\frac{[ABC]}{[XYZ]}=\frac{2R}{r}$ , donde $X$ , $Y$ , $Z$ son los puntos en los que el círculo interior de $\triangle ABC$ se une a los lados

Question

Demostrar que $$\frac{[ABC]}{[XYZ]}=\frac{2R}{r}$$ donde $[\,\_\,]$ representa el área del triángulo, $X,Y,Z$ son los puntos de contacto del círculo interior con los lados del triángulo $ABC$ , $R$ es el circunradio, y $r$ es inradio.

La prueba del libro de texto se muestra a continuación, junto con el Teorema 36 de referencia.

El teorema exige que los triángulos tengan ángulos iguales, pero en la pregunta no he podido encontrar ángulos iguales. ¿Tal vez me equivoque?

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Aquí está mi prueba de libro de texto:

Por si te preguntas qué es el Teorema 36.

Teorema 36: En dos triángulos $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$ tenemos $\angle A_1=\angle A_2$ . Entonces sus áreas son proporcionales a los rectángulos contenidos por los lados que contienen $\angle A_1$ y $\angle A_2$

Answer 1

En este sitio, se supone que no voy a resolver el problema por completo para usted. Puedo ayudarte a terminar la tarea dándote las siguientes pistas/fórmulas. Las pruebas de las mismas se pueden encontrar en Internet.

Para $\triangle ABC$ ,

1. $AYIX$ es cíclico implica $\angle ABC + \angle XIY = 180^0$ .

2. La identidad de Trigo: $\sin (180^0 – \theta) = \sin \theta$ .

3. La ley del seno: $a = 2R \sin A$ .

4. La fórmula del área: $[ABC] = \dfrac {1}{2}ab\sin C$ .

Entonces, $[ABC] = … = 2R^2 (\sin A)(\sin B)(\sin C)$ .

También, $[XYZ] = … = 0.5r^2(\sin A + \sin B + \sin C)$

5. Fórmula de doble ángulo: $\sin (2\theta) = 2 \sin \theta\cos \theta$ .

6. Relación entre $r$ y $R$ : $r = 4R(\sin \dfrac {A}{2})(\sin\dfrac {B}{2})(\sin\dfrac {C}{2})$ .

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$[IYZ] = 0.5 (IY)(IZ) \sin \angle YIZ = 0.5 r^2 \sin \angle YIZ$

De la misma manera, $[ABC]$

$ = 0.5 (AB)(AC) \sin \angle BAC$

$ = 0.5 (AB)(AC) \sin (180^0 - \angle YIZ) $

$= 0.5 (AB)(AC) \sin \angle YIZ$

$ = 0.5bc \sin \angle YIZ$

Entonces, después de la cancelación, tenemos $\dfrac {[IYZ]}{[ABC]} = \dfrac {r^2}{bc} = \dfrac {ar^2}{abc}$