demostrar que no hay ningún racional r que satisfaga $2^r=3$

Question

Primero asumí que existe un racional $r=\frac{a}{b}$ tal que $2^r=3$ .

.. y no puedo hacer un progreso después de esto.

¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Supongamos que $r=\frac{a}{b}$ con enteros positivos coprimos $a,b$ .

Entonces, obtenemos $$2^{\frac{a}{b}}=3$$

Toma el $b-th$ poder en ambos lados

$$2^a=3^b$$

Esto es claramente una contradicción porque el lado izquierdo es par y el lado derecho es impar.

Answer 2

De manera más general, supongamos que $a^n = b^m$ donde todas las variables son enteros positivos y hay un primo $p$ tal que $p$ divide $a$ y $p$ no se divide $b$ .

Entonces $p$ divide $a^n$ y $p$ no divide $b^m$ , que es una contradicción.

Por lo tanto, si $a^n = b^m$ , entonces todo primo que divide a $a$ debe dividir $b$ y viceversa.

Se pueden establecer resultados más generales (mirando a las factorizaciones factorizaciones primarias), pero esta es una generalización razonable de su problema.