¿Por qué las probabilidades de cada microestado son iguales dentro de un conjunto microcanónico?

Question

Esta pregunta se refiere a la mecánica estadística:

Por qué tiene sentido postular, que en el equilibrio térmico todos los microestados con U fija dentro de un conjunto microcanónico son igualmente probables?

Cuando era estudiante, me centré principalmente en la derivación matemática, y me quedó claro, que esta es la condición para maximizar el "grado de incertidumbre", por lo que terminamos con la entropía $$ S = k_B\cdot \ln W $$

con $W$ el número de microestados posibles y el famoso resultado de Boltzmann.

Ahora, años después, al revisar mis viejos libros de texto, esto ya no es plausible. Podría imaginarme fácilmente un sistema formado por dos "contenedores" A,B, cada uno capaz de contener 0, 1 o 2 porciones de (la misma) energía de la cantidad 1.

La energía total del sistema es de 2.

Los microestados están definidos por la tupla (a,b), a,b denotando el número de porciones dentro de A,B, respectivamente.

En cada ronda esos dos bins intercambian porciones de energía con probabilidades según este esquema:

Entonces, después de un tiempo, es mucho más probable encontrar el sistema en el estado (2,0) que en uno de los otros. Incluso cuando reemplazo $p=0$ por $p=10^{-6}$ la mayor parte del tiempo el sistema permanecería en (2,0).

Así que en este caso, las probabilidades no son las mismas para cada microestado.

¿Están estos sistemas excluidos por alguna sutil razón física que aún no he podido identificar?

Mi libro de texto, por otra parte, no hace suposiciones, cómo los sistemas se construyen físicamente.

Algo debe estar mal... ¿significa que el equilibrio térmico no está definido en esos casos? Pero, ¿qué más se necesita para justificar la afirmación?

Answer 1

El desiderátum básico cuando se quiere determinar una medida de probabilidad adecuada para describir el sistema aislado en equilibrio es que debe describir un sistema en equilibrio.

Volvamos al caso estándar de un sistema hamiltoniano clásico. La razón por la que la medida microcanónica es un candidato plausible para describir el estado de equilibrio del sistema es que queda invariante por la dinámica . Si no fuera así, sería incoherente utilizarla para describir un sistema en equilibrio, ya que al comenzar el sistema según esta medida, su distribución cambiaría con el tiempo (por tanto, no estaría en equilibrio). Por supuesto, hay muchas otras medidas invariantes. Esta es una de las razones por las que el problema fundacional de la mecánica estadística del equilibrio sigue abierto.

En el caso de una cadena de Markov irreducible de estado finito, como propones, es trivial determinar el conjunto de todas las medidas de probabilidad que quedan invariantes por la dinámica: sólo hay una, la medida estacionaria. En su caso, está claro que la medida estacionaria no es uniforme, por lo que no hay esperanza de describir su estado de equilibrio utilizando la medida uniforme (y, por supuesto, lo sabíamos, ¡ya que la medida adecuada a utilizar es la medida estacionaria!)

(Es fácil caracterizar reversible Cadenas de Markov que dejan invariante la medida uniforme. En este caso, es necesario y suficiente que la probabilidad de transición sea simétrica: $p(i\to j) = p(j\to i)$ para todos $i,j$ .)

Así que, mi punto es que a (trivial) condición necesaria para el conjunto microcanónico (=medida uniforme) aplicar a un sistema dado es que quede invariante por la dinámica , lo que no es el caso de su ejemplo.

Answer 2

Creo que es una buena pregunta y llega a lo que la mecánica estadística hace realmente cuando asigna probabilidades a los estados. En particular, es no dándole la probabilidad correcta de estar en un estado determinado. Esto es aún más claro en el caso totalmente determinista, en el que la probabilidad de estar en el estado $x$ en el momento $t$ viene dada por $p(x,t) = \delta(x-r(t))$ donde $r(t)$ es la solución de las ecuaciones de movimiento del sistema.

Su ejemplo es similar. Consideras un sistema no determinista (una cadena de Markov) para la transición entre estados en alguna ventana de energía micro-canónica. La mecánica estadística estándar dice que hay que asignar una distribución de probabilidad uniforme sobre estos estados en ausencia de otros conocimientos . Sin embargo, ha decidido especificar completamente la dinámica asignando probabilidades de transición $T_{ab}=\mathbb{P}(a\rightarrow b)$ , donde $\mathbb{P}(a \rightarrow b)$ son las probabilidades de pasar del estado $a$ al estado $b$ . Este es un problema bien estudiado y existe una distribución de probabilidad en estado estacionario que se puede obtener a partir de la matriz $T_{ab}$ correspondiente a uno de sus vectores propios (izquierda). Cómo hacer esto no es importante, el punto es que es típicamente no uniforme como usted observó. ¿Cómo cuadrar esto con la mecánica estadística?

Pues bien, una de las formas de abordar esta cuestión es exigir un "equilibrio detallado". Es decir, exigir que $T_{ab}$ es simétrica. Esto hace que el vector propio con valor propio $1$ una distribución uniforme por lo que nos da resultados microcanónicos. Creo que esto no es físico - sistemas como el suyo presumiblemente existen y yo esperaría que alcanzaran el equilibrio térmico siempre que sean grandes . Mi interpretación de lo que ocurre es que para un gran número de estados, no podrás extraer información útil del modelo de Markov, de la misma manera que no puedes resolver (o incluso utilizar la solución de) las EDOs deterministas clásicas. Por lo tanto, la mecánica estadística, al maximizar la entropía, te da la estimación más fiable que puedes obtener sin resolver el sistema . En el límite termodinámico, se espera que esto se convierta en un pico fuerte en el sentido de que casi cualquier matriz de Markov $T_{ab}$ se puede escribir estaría de acuerdo con la predicción microcanónica para cualquier cantidad observable $\langle O \rangle = \sum_a p_a O_a$ .

Answer 3

Creo que no se trata de un sistema estadístico, en el sentido que estudiamos en la mecánica estadística. O, alternativamente, no se trata de un sistema en equilibrio.

Una de las ideas básicas cuando describimos un sistema en mecánica estadística es que el sistema es macroscópico, con cantidades que podemos definir como extensivas e intensivas, y estas cantidades son homogéneas en todo el sistema. Es decir, si dividimos el sistema en $N$ subsistemas separados que siguen siendo grandes (es decir, macroscópicos ellos mismos), cada una de las copias conservará las cantidades intensivas, y tendrá $1/N$ de las cantidades extensas. Su sistema viola claramente esta suposición.

Por cierto, yo diría que "todos los microestados con $U$ dentro son igualmente probables" es la definición del conjunto microcanónico.

Answer 4

La explicación habitual es que se espera que un sistema físico tenga una probabilidad de transición simétrica, es decir, un "equilibrio detallado", como señalan Yvan Velenik y jacob1729. Fundamentalmente, esto proviene de la invariancia PT (sugiero que esta es la "sutil razón física" que buscas), que se mantiene en la mayoría de los sistemas prácticos. Si un sistema es microscópicamente irreversible, como en tu ejemplo, quedaría fuera de la mecánica estadística estándar.