Anillos directamente indecomponibles

Question

¿Es todo anillo el producto directo (posiblemente infinito) de anillos directamente indecomponibles?

Creo que la respuesta es no, pero no estoy seguro y no conozco ningún ejemplo explícito.

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Una reducción: Si $R$ es un anillo unital y asociativo, entonces define $B(R)$ para ser el conjunto de todos los idempotentes centrales de $R$ , $B(R) = \{ e \in R: e^2 = e, er=re ~(\forall r \in R) \}$ . $B(R)$ es un anillo bajo las operaciones $e \oplus f = e+f -ef$ y la multiplicación estándar de $R$ .

Si $R$ era un producto directo de anillos directamente indecomponibles $R_i = Re_i$ para $i \in I$ entonces los elementos de $B(R)$ son exactamente los $e_J$ para $J \subseteq I$ ; $e_J \oplus e_K = e_{J \oplus K}$ donde $J \oplus K$ es de diferencia simétrica; y $e_J \cdot e_K = e_{J \cap K}$ .

En particular, $B(R) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}^I$ es lo que se llama un álgebra booleana completa. Por lo tanto, cualquier anillo en el que $B(R)$ no es un álgebra booleana completa es un ejemplo.

Si $B(B(R)) = B(R)$ Entonces creo que esto funcionará básicamente, aunque todavía no me importaría que los detalles se expusieran con claridad (especialmente en lenguaje algebraico).

Anderson-Fuller página 102 proporciona un ejemplo a los que entienden la topología de $\mathbb{Q}$ Pero yo no soy una persona así. Creo que el álgebra booleana finita-cofinita es probablemente más mi velocidad, pero no estoy seguro de que no sea isomorfa a un álgebra booleana completa.

(Creo que las partes tachadas pueden ser erróneas; agradecería correcciones).

Answer 1

Dejemos que $R$ sea el subring de $\prod_{i\in\omega}\Bbb F_2$ generado por $\oplus_{i\in\omega}\Bbb F_2$ y la identidad. (Esto es sólo la unitización del ideal $\oplus_{i\in\omega}\Bbb F_2$ y básicamente se parece a $\{x+kI\mid x\in \oplus_{i\in\omega}\Bbb F_2, k\in \Bbb F_2\}$ .)

Parte 1 : Afirmamos que cualquier factor directamente irreducible de $R$ tendría que ser $\Bbb F_2$ .

Supongamos que $I\lhd R$ es un factor de este tipo, y que $x\neq y$ son dos elementos no nulos en $I$ . Desde $x\neq y$ se puede elegir un idempotente $e$ en $R$ tal que $ex\neq 0$ y $ey=0$ . (Sólo hay que utilizar la proyección sobre una coordenada en la que difieren.) Pero entonces $eI\oplus(1-e)I$ es una descomposición no trivial de $I$ , como $0\neq x\in eI$ y $0\neq (1-e)y\in (1-e)I$ . Como esto es imposible, $I$ es sólo una copia de $\Bbb F_2$ .

Parte 2 : $R$ no es un producto directo de las copias de $\Bbb F_2$ .

Tenga en cuenta, en primer lugar, que $R$ es un elemento esencial $R$ submódulo de $\prod_{i\in\omega}\Bbb F_2$ . Si $R$ fuera un producto directo de campos, sería un anillo auto-inyectivo, pero no puede ser auto-inyectivo y tener la $R$ ampliación del módulo $R\subsetneq \prod\Bbb F_2$ . (Alternativamente, se puede decir que el submódulo inyectivo $R$ debe separarse de $\prod\Bbb F_2$ pero no puede porque un submódulo esencial no trivial no puede dividir el módulo grande).

Así que, $R$ es otro ejemplo de anillo que no se puede descomponer en anillos directamente irreducibles.

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Ya que estamos cerca del tema, creo recordar correctamente que cada anillo hace se descomponen en un producto subdirigido de anillos irreducibles subdirectamente .

Answer 2

Dejemos que $R \subseteq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}^\omega$ consiste en todas las secuencias $(a_n)$ de tal manera que haya algún $k$ con $a_n = a_{n+2^k}$ para todos $n=0,1,\dots \in \omega$ . Las operaciones (suma y multiplicación) son por coordenadas. El cero es la secuencia constante 0 con $k=0$ y la otra es la secuencia constante 1 con $k=0$ . Cada elemento es un idempotente central.

Si $R$ es un producto directo de anillos directamente indecomponibles, entonces tiene al menos un factor directo directamente indecomponible, $S= R e_S$ con identidad $e_S$ y el período $k$ . Si $e_S = (a_n)$ y $a_i \neq 0$ con $i < 2^k$ , entonces considera el elemento $e_T = (b_n) \in R$ con $b_n = 0$ a menos que $n \equiv i \mod 2^{k+1}$ . Observe que $e_S \neq e_T$ ya que difieren en el $(i+2^k)$ coordenadas, pero que $e_S \cdot e_T = e_T$ ya que las únicas entradas no nulas de $e_T$ se producen cuando la entrada correspondiente en $e_S$ es 1. Por lo tanto, obtenemos una descomposición de producto directo no trivial de $S = S e_T \times S (1-e_T)$ desde $e_T = e_T e_s \in R e_S = S$ es un idempotente central no trivial de $S$ .

Por lo tanto, no sólo $R$ no tiene una descomposición de producto directo (posiblemente infinito) en anillos directamente indecomponibles, no tiene factores directos directamente indecomponibles.

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Ejemplo:

Toma $e_S = (1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,\dots)$ con el período $2^2$ . Entonces $S=Re_S$ consiste en aquellas secuencias (periódicas) que son distintas de cero como máximo en cada cuarta coordenada. En particular, $e_T = (1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,\dots)$ con el período $2^3$ está dentro $S$ y $S(1-e_T) = R e_s(1-e_T) = R(e_S - e_T)$ así que $e_S - e_T = (0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,\dots)$ con el período $2^3$ también está en $S$ .

Esto nos permite escribir $S$ como el producto directo de dos de sus subarreglos, aquellos cuyas entradas no nulas están en $0 \equiv n \mod 8$ y los de $4 \equiv n \mod 8$ .

Por supuesto, cada uno de estos subrings es un producto directo de anillos definidos por condiciones similares mod 16, y esos son productos directos mod 32, etc.