Si la gravedad influye en las mediciones de longitud, y las mediciones de longitud influyen en la gravedad, ¿cómo resolvemos la gravedad neta? (paradoja que no puedo resolver)

Question

Este es el concepto. Vemos un asteroide muy denso de 1,5 km de radio, y mi amigo Charlie y yo volamos en nuestra nave espacial para comprobarlo. Vuelo cerca en mi báscula de baño, equipada con un cohete propulsor, y me cierro sobre el asteroide que no gira. Tengo 100 kg de masa.

Mi balanza marca 2,05864e15 Newtons, por lo que la aceleración gravitatoria g = 2,05864e13 m/s2. A continuación, hago un ping al asteroide con una señal de radio, y el viaje de ida y vuelta dura 2 microsegundos, por lo que calculo que la distancia al asteroide es de 300 metros, y al centro del astroide de 1800 metros. Entonces utilizo g = GM/r^2 para calcular que M = 1,00e30 kg. Vuelvo a llamar por radio a Charlie, que ha estado observando desde un millón de kilómetros de distancia.

Charlie dice: "Te equivocas con la masa. He estado observando a través del Zoom. Debido a la alta gravedad, tu tiempo está corriendo lentamente por un factor de 1,41. El ping no tardó 2 microsegundos, sino 2,82 microsegundos. Calculo que tu valor de R para usar en GM/R^2 es de 1923,4 metros. Eso significa que la masa del asteroide es de 1,14e30 kg.

¿Quién tiene razón? ¿Cuál es la masa del asteroide? Cosas en las que los dos observadores están de acuerdo: el asteroide tiene un radio de 1,5 km medido desde lejos, la aceleración gravitatoria es de 2,05864e13 m/s2 en un punto en el que el observador local mide la distancia a la superficie como 1 microsegundo luz y el observador más lejano mide la distancia como 1,42 microsegundos luz. ¿Cuál fue el error del observador incorrecto?

Answer 1

Hay una desafortunada tendencia en las descripciones de la relatividad (especialmente la especial) a decir que los observadores "no están de acuerdo" sobre las cantidades medidas, como si realmente fueran a entrar en una discusión al respecto, en la línea de " $x=2\text{m}$ !" "No, $x=3\text{m}!$ "

Si se asume razonablemente que los participantes en los experimentos de pensamiento entienden las leyes físicas que están aplicando, entonces esto nunca sucederá, porque entenderán que están describiendo la misma situación física de diferentes maneras, y la única razón por la que han citado diferentes valores para una cantidad llamada $x$ es que están usando el nombre $x$ para referirse a dos cosas diferentes. Con suerte, uno de ellos aceptará cambiar el nombre de su cosa a $x'$ y entonces no habrá más "desacuerdo". Las coordenadas en la relatividad son como las coordenadas en la geometría euclidiana, y no hay nada más profundo en estos "desacuerdos" de lo que habría en la geometría euclidiana.

Dados los valores extremos implicados aquí, no se puede utilizar una aproximación newtoniana. Su aceleración adecuada no es $GM/r^2$ pero $GM/(r^2\sqrt{1-r_s/r})$ (donde $r_s=2GM/c^2$ ), y el tiempo de ping no es $2(r_2-r_1)/c$ pero $2(r_2-r_1+r_s\ln(r_2-r_s)/(r_1-r_s))\sqrt{1-r_s/r_2}/c$ . Resolviendo estas ecuaciones para $M$ y su radio no es del todo trivial pero es factible.

Charlie, conociendo tu aceleración propia, su propia aceleración, y el tiempo de ping desplazado al rojo por un factor de $\sqrt{(1-r_s/r_3)/(1-r_s/r_2)}$ puede resolver M y los dos radios desconocidos. Usar el tiempo de ping que él mide como si fuera tu tiempo de ping medido producirá una respuesta errónea porque es un cálculo equivocado.

Debo mencionar otra cuestión: la noción de "radio" no es totalmente inequívoca. Normalmente, en las coordenadas de Schwarzschild se utiliza la llamada "circunferencia reducida", que es $1/2$ veces la circunferencia de un círculo centrado en el cuerpo masivo. Si quieres utilizar estas fórmulas, tienes que usar un radio de circunferencia reducido para el asteroide ( $r_1$ ). Esto no es "medido desde lejos". De hecho, no tiene sentido hablar de un radio medido desde lejos. Se podría medir el diámetro angular del asteroide desde lejos. Entonces habría que equiparar el ángulo medido con un ángulo calculado en función de tu posición, el radio del asteroide y su masa (calculando la trayectoria geodésica de un haz de luz que sólo roza el asteroide). Eso te daría un sistema de una ecuación más en una variable más, que podrías resolver.