Compactación y bolas cerradas

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio métrico compacto, tal que $\{U_i\}_{I\in I}$ es una colección de conjuntos abiertos cuya unión es $E.$ Demuestre que existe $\epsilon>0$ tal que cualquier bola cerrada en $E$ de radio $\epsilon >0$ está totalmente contenido en al menos un conjunto abierto $U_i.$

Intenté hacerlo por contradicción.

Supongamos que no es cierto, entonces para $\epsilon >0$ existe una bola cerrada $B(x_n, \epsilon)$ que no está contenida en ningún $U_i.$ Desde $E$ es compacta la secuencia $\{x_n\}$ tiene una subsecuencia convergente en $E$ Por lo tanto $\{x_n\} \to x$ , donde $x$ es el límite y $x\in E$ . Así, $x\in U_i$ para algunos $i \in I$ . Sea $x\in U_{i_0}$ .

¿Cómo puedo terminar esto?

Answer 1

Su punto $x_n$ no depende de $n$ pero en $\epsilon$ ; tal vez deberías poner $\epsilon= 1/n$ .

Una pista: Existe $r>0$ tal que $B(x,r) \subset U_{i_0}$ . Utilizando $x_n \to x$ y $\frac{1}{n} \to 0$ deduzcan que $B(x_n,1/n) \subset B(x,r) \subset U_{i_0}$ para que sea lo suficientemente grande $n$ .