¿Hay algún resultado que pueda ayudarme a obtener un límite inferior para esta serie?

Question

La serie tiene la estructura

$\sum_{k=1}^\infty p_ka_k$

y converge a algún $c<0$ .

$\{a_k\}_{k=1}^\infty$ es conocida, es una función creciente de $k$ con $a<a_k<0, \forall k$ , tiene límite $0$ y la suma conocida $\sum_{k=1}^\infty a_k=A$ .

$\{p_k\}_{k=1}^\infty$ por otro lado, se desconoce, aparte del hecho de que $p_k \in [0,1],\forall k$ y $\sum_{k=1}^\infty p_k = 1$ .

Me interesa saber si es posible obtener un límite inferior para $c$ , posiblemente dependiendo de la forma de $\{p_k\}_{k=1}^\infty$ .

¿Algún consejo?

Este es mi primer post aquí, ¡espero no haber roto ninguna regla!

Gracias de antemano por su paciencia.

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Mi pregunta actual podría plantearse también como "¿puedo demostrar, dado lo anterior, que $p_1=1,p_k=0, k>1$ es la secuencia que produce el mayor límite inferior para $c$ que sería entonces igual a $a_1$ ?'

Answer 1

Puede que se me ocurra algo, te pido tu opinión al respecto.

Dadas las hipótesis de trabajo, $\sum_k p_k a_k$ puede considerarse como el valor esperado de $a_k$ con respecto a la ley de probabilidad $p$ de $k$ . Si no recuerdo mal, la internalidad de Cauchy debería mantenerse, por lo que

$E_p[a_k] \in [\inf(a_k),\sup(a_k)]$

lo que lleva a $\inf(a_k)=a_1$ ya que $a_k$ es una función estrictamente creciente de $k$ en $k=1,2,...$ y esto debería mantenerse sea cual sea el $p_k$ s...

Además, la secuencia de $p_k$ que produce exactamente ese límite inferior es la que concentra la masa 1 en $k=1$ es decir $p_1=1, p_k=0, k>1$ Así que este debe ser (¿uno de?) el 'peor escenario posible'..

¿Qué opinan ustedes?

Gracias de nuevo.

Answer 2

Voy a intentar una prueba de que $a_1$ es el mayor límite inferior para $c$ y que se genera de forma única por $p_1=1, \forall n(p_n=0)$ .

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Teorema 1. $a_1$ es un límite inferior.

Prueba. Porque $(a_n)_{n=1}^\infty$ es una secuencia creciente,

$$\sum_{k=1}^\infty p_ka_k\ge \sum_{k=1}^\infty p_ka_1= a_1$$

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Teorema 2. $a_1+h$ no es un límite inferior, para cualquier $h>0$ .

Prueba. Supongamos que $a_1+h$ es un límite inferior. Entonces, para cualquier secuencia $(p_n)_{n=1}^\infty$ con $\forall n\in\Bbb N_1(p_n\in[0,1])$ y $\sum_{n=1}^\infty p_n=1$ ,

$$\sum_{k=1}^\infty p_ka_k\ge a_1+h$$

Elija la secuencia tal que $p_1=1$ y $p_n=0$ para todos $n>1$ . Entonces se deduce directamente que $a_1\ge a_1+h$ , lo cual es una contradicción.

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Teorema 3. El único $(p_n)_{n=1}^\infty$ para lo cual $c=a_n$ es $p_1=1,\forall n(p_n=0)$ . En otras palabras, si $p_1\ne1$ entonces existe un $h>0$ tal que $a_1+h$ es un límite inferior.

Prueba. Dejemos que $p_1\ne1$ . A continuación, elija cualquier $n>1$ tal que $p_n>0$ (de los cuales debe haber al menos $1$ ). Ahora dejemos que $h=p_n(a_n-a_1)>0$ . De ello se desprende que

$$\sum_{k=1}^\infty p_ka_k=\sum_{k=1}^{n-1} p_ka_k+p_na_n+\sum_{k=n+1}^\infty p_ka_k=\sum_{k=1}^{n-1} p_ka_k+p_na_1+h+\sum_{k=n+1}^\infty p_ka_k\\ \ge\sum_{k=1}^{n-1} p_ka_1+p_na_1+h+\sum_{k=n+1}^\infty p_ka_1=\sum_{k=1}^\infty p_ka_1+h=a_1+h$$

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Hazme saber si encuentras algún error o tienes alguna pregunta. Creo que funciona.