Supongamos que $r,k,n$ son números naturales tales que $r\leq k\leq n$ y $X\in\mathbb{R}^{n\times n}$ es una matriz simétrica semidefinida positiva. Además, dejemos que $W\in\mathbb{R}^{n\times k}$ y $U\in\mathbb{R}^{n\times r}$ satisfacen las siguientes condiciones: $$W^TW=I_k\qquad and\qquad U^TU=I_r,$$ donde $I$ es la matriz de identidad. ¿Es posible concluir la siguiente relación? $$trace(U^TXU)\leq trace(W^TXW).$$ Si la respuesta es negativa, ¿podría dar un contraejemplo?
Respuesta
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Esto no parece ser cierto en general. (Espero que este ejemplo no sea demasiado trivial).
Dejemos que $r=k=1$ y $n=2$ . Sea $U=\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}$ , $W=\begin{bmatrix} 0\\1\end{bmatrix}$ y $X=\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix}$ .
Entonces $U^TU=W^TW=\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}=I_1$, and $U^TXU=\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}$ mientras que $W^TXW=\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}$ pero $1\not\le 0$ .
