Integrar una fracción parcial

Question

¿Cómo puedo calcular la integral $$\int_0^{\pi/2} \cfrac 1 {12\cos x + 9 \sin x} dx?$$

Por favor, ¿puede ayudar?

Answer 1

HINT

Reescritura $12 \cos(x) + 9 \sin(x)$ como $$15 \left(\dfrac{12}{15} \cos(x) + \dfrac{9}{15} \sin(x) \right) = 15 \cos(x + \theta)$$ donde $\tan(\theta) = - \dfrac9{12}$ . (Tenga en cuenta que $15 = \sqrt{9^2 + 12^2}$ .) Esto es similar al problema aquí .

Answer 2

Si todo lo demás falla, el Sustitución de Weierstrass lo hará.

Sin embargo, vamos a intentar algo que comienza con lo que Marvin sugirió en su respuesta. En primer lugar, observe que $12^2+9^2=15^2$ Así que $\left(\frac{12}{15}\right)^2+\left(\frac{9}{15}\right)^2=1$ . Por lo tanto, podemos encontrar $\theta$ tal que $\cos\theta=12/15$ y $\sin\theta=9/15$ . Entonces $$ 12\cos x + 9\sin x = 15\left(\frac{12}{15}\cos x+\frac{9}{15}\sin x\right) = 15(\cos\theta\cos x + \sin\theta\sin x) = 15\cos(x-\theta). $$ Por lo tanto, $$ \int\frac{dx}{12\cos x+9\sin x} = \int \frac{dx}{15\cos(x-\theta)}= \int \frac{\cos(x-\theta)\,dx}{15(\cos(x-\theta))^2} = \frac{1}{15}\int \frac{\cos(x-\theta)\,dx}{1- (\sin(x-\theta))^2} $$ $$ = \frac{1}{15}\int \frac{du}{1-u^2} = \frac{1}{15}\int \frac{A}{1-u} + \frac{B}{1+u} \, du. $$ A continuación, utiliza las fracciones parciales.

Answer 3

Esta es una solución de WolframAlpha , todavía no sé si este tipo de cosas están permitidas aquí en MSE.

La solución es indefinida, puedes calcular la integral definida después.