¿Hay un anillo con $\mathbb{Z}$ como su grupo de unidades?
En términos más generales, ¿alguien conoce una condición suficiente para que un grupo sea el grupo de unidades de algún anillo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El ejemplo proporcionado por Noam responde a la primera pregunta. La segunda pregunta es muy antigua y, de hecho, demasiado general. Véanse, por ejemplo, las notas del capítulo XVIII (página 324) del libro "László Fuchs: Pure and applied mathematics, Volume 2; Volume 36". En particular, los anillos con grupos cíclicos de unidades han sido estudiados por RW Gilmer [Finite rings having a cyclic multiplicative group of units, Amer. J. Math 85 (1963), 447-452], por K. E. Eldridge, I. Fischer [D.C.C. rings with a cyclic group of units, Duke Math. J. 34 (1967), 243-248] y por KR Pearson y JE Schneider [J. Algebra 16 (1970) 243-251].
