Distancia de un vector de un subespacio - Álgebra lineal

Question

Quiero calcular la distancia del vector $x=(1,1,1,1)$ al subespacio $\{(1,0,2,0) , (0,1,0,2)\}$

Yo lo he solucionado de 2 formas que conozco pero el caso es que los resultados son diferentes.

Por ejemplo, cuando uso $||x-Pr(x)||$ Me sale $\sqrt{2}$ pero cuando lo calculo utilizando el determinante del gramo (más información aquí: Distancia entre un punto y un espacio de m dimensiones en un espacio de n dimensiones ( $m<n$ ) ) Me sale $\sqrt{\frac{10}{25}}$ lo cual es extraño porque ambas formas deberían ser equivalentes.

Así que mi pregunta es, ¿qué me estoy perdiendo aquí? ¿Cuál de estos resultados fue el correcto?

Gracias.

Edición: Solución con $||x-Pr(x)||$ :

Dejemos que $v_1$ sea $(1,0,2,0)$ y $v_2$ sea $(0,1,0,2)$

Ambos vectores $v_1$ y $v_2$ son ortogonales, lo que significa que el producto interno de ellas es $0$ . Ahora tenemos que hacerlas ortonormales. Después de hacerlo obtenemos $e_1=v_1/\sqrt{3}$ y $e_2=v_2/\sqrt{3}$

Ahora calculamos $\Pr(x)$ .

$$\Pr(x)= (x,e_1)e_1+(x,e_2)e_2 =\ldots= (1,1,2,2)$$

Por lo tanto, la distancia es $d(x,U)= ||x-\Pr(x)||=||(1,1,1,1)-(1,1,2,2)||= ||(0,0,-1,-1)||= \sqrt{2}$

Answer 1

Yo ofrezco el tercer método:

Sea el punto de ese subespacio dado por $x (0,1,0,2)+y(1,0,2,0)$ . Entonces el cuadrado de la distancia al punto $(1, 1, 1, 1)$ se puede escribir como,

$$(1-y)^2+(1-x)^2+(1-2y)^2+(1-2x)^2$$ Necesitamos minimizar la expresión anterior con respecto a $x$ y $y$ . Debido a la simetría, es suficiente considerar sólo la minimización $$\min_x ( (1-x)^2 +(1-2x)^2) =\min_x( 5x^2-6x+2).$$ El mínimo se alcanza en $x=\frac 35$ y el valor mínimo es $\frac 15$ . Por lo tanto, el cuadrado de la distancia mínima es $\frac 25$ (es decir, la misma que has obtenido mediante el determinante de Gram).

Parece que has cometido algunos errores al calcular $\|x-\mathrm{Pr}\, x\|$ .

Answer 2

Esta es una visión geométrica de la respuesta de TZakrevskiy.

Dejemos que $V=\operatorname{sp} \{v_1,v_2\}$ . Tenga en cuenta que $v_1 \bot v_2$ en este problema.

Si $p \in V$ minimiza la distancia entre $x$ y $V$ tenemos $(x-p) \bot v_k $ para $k=1,2$ .

Escribir $p=\sum_k \alpha_k v_k$ y utilizando la ortogonalidad, obtenemos $\alpha_k = { \langle x , v_k \rangle \over \|v_k\|^2} = { 3 \over 5}$ .

La sustitución da como resultado $\|x-p\| = \sqrt{2 \over 5}$