Diferencia utilizando la regla de la cadena y del producto, y luego simplifica.

Question

$$h(t)= (t+1)^{2/3}(2t^2-1)^3$$ Diferencia la expresión anterior.

En primer lugar, apliqué las reglas del producto y de la cadena: $$h'(t)=(t+1)^{2/3}3(2t^2-1)^2(4t)+\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^3$$

Al principio estaba satisfecho con esta respuesta, ya que es bastante difícil simplificar esta expresión. Sin embargo, el libro de texto ofrece la siguiente respuesta, más simplificada:

$$h'(t)=\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2(20t^2+18t-1)$$

Suponiendo que mi expresión sea correcta, ¿cómo han llegado a esta solución? (Por si sirve de algo, veo que un par de mis términos coinciden con la respuesta).

Para un estudiante de cursos de cálculo de nivel superior (es decir, Cálculo Multivariable, Calc III), ¿debería ser un hecho que esta simplificación debería ser obvia? Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Sus primeros pasos fueron correctos.

$$(t+1)^{2/3}3(2t^2-1)^2(4t)+\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^3$$

$$=\left(\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2\right)\frac{3}{2}(3\cdot 4\cdot t)(t+1)+$$

$$+\left(\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2\right)\cdot (2t^2-1)$$

$$=\left(\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2\right)$$

$$\cdot \left(18t(t+1)+2t^2-1\right)$$

$$=\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2(20t^2+18t-1)$$

He utilizado la propiedad distributiva en $\left(\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2\right)$ .

Espero que esto quede claro.

Answer 2

\begin{align} &(t+1)^{2/3}3(2t^2-1)^2(4t)+\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^3\\ =&\color{red}{\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2}(t+1)(18t)+\color{red}{\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2}(2t^2-1)\\ =&\color{red}{\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2}\left((t+1)(18t)+2t^2-1\right)\\ =&\frac{2}{3}(t+1)^{-1/3}(2t^2-1)^2(20t^2+18t-1) \end{align} Es una simple cuestión de factorización.

Answer 3

Sugerencia

Cuando te enfrentas a combinaciones de productos, cocientes y potencias, la diferenciación logarítmica te facilita la vida $$h= (t+1)^{\frac 23}(2t^2-1)^3\implies \log(h)=\frac 23\log(t+1)+3\log(2t^2-1)$$ Diferenciar ambos lados $$\frac{h'}h=\frac 23 \frac 1{t+1}+3\frac {4t}{2t^2-1}=\frac{40 t^2+36 t-2}{3 (t+1) \left(2 t^2-1\right)}$$ Ahora $$h'=h \times \frac{h'}h=(t+1)^{\frac 23}(2t^2-1)^3\times \frac{40 t^2+36 t-2}{3 (t+1) \left(2 t^2-1\right)}$$ Simplifica y ya está.