¿Están conectadas todas las vías? $F_\sigma$ subconjunto de un plano una imagen de $[0,1)$ ?

Question

El título lo dice todo. Deja que $A$ sea un camino conectado $F_\sigma$ subconjunto de un plano (o más generalmente $\mathbb{R}^n$ ). Recordemos que un subconjunto se llama $F_\sigma$ si es la unión de una secuencia de conjuntos cerrados.

¿Es cierto que existe una suryección continua desde $[0,1)$ en $A$ ? De forma equivalente, ¿puede $A$ ¿se puede representar como la unión de una secuencia creciente de continuos de Peano?

Obsérvese que no podemos eliminar "path", ya que $\{y=\sin(\frac{1}{x}),x>0\}\cup \{(0,0)\}$ es un conjunto de $F_\sigma$ subconjunto que no puede representarse como una unión de una secuencia creciente de continuos.

Answer 1

No, esto falla incluso para subconjuntos compactos de $\mathbb R^2$ . En concreto, dejemos que $X=C\times[0,1]\cup[0,1]\times\{0\}$ , donde $C$ es el conjunto de Cantor. Es claramente un camino conectado. $X$ no puede ser una imagen de $[0,1)$ porque la imagen de cualquier intervalo $[0,a],a<1$ por este mapa sólo puede contener un número finito de puntos de $C\times\{1\}$ (debido a la compacidad), y por lo tanto la imagen de $[0,1)$ sólo puede contener un número contable de ellas.

Puede ser de su interés que existe una clasificación topológica completa de los espacios que son imágenes de $[0,1)$ son los espacios conectados por trayectorias que son uniones contables de espacios de Hahn-Mazurkiewicz (lo que significa que son espacios compactos, Hausdorff, conectados, localmente conectados y metrizables), como se muestra aquí .