Esta es una selección de mi texto de notas de clase, Lectures on Forzamiento y Grandes Cardenales, que escribí hace tiempo y que muestra las principales equivalencias, incluyendo las que usted menciona.
Teorema. Si $\kappa^{<\kappa}=\kappa$ , entonces los siguientes son equivalentes.
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(propiedad de compacidad débil) $\kappa$ es débilmente compacto. Que es, $\kappa$ es incontable y cada $\kappa$ -teoría insatisfactible en un $L_{\kappa,\kappa}$ lenguaje de tamaño como máximo $\kappa$ es satisface.
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(propiedad de extensión) Para cada $A\newcommand\of{\subseteq}\of V_\kappa$ existe una estructura transitiva $W$ extender correctamente $V_\kappa$ y $A^*\of W$ tal que $\langle V_\kappa,{\in},A\rangle\newcommand\elesub{\prec}\elesub\langle W,{\in},A^*\rangle$ .
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(propiedad del árbol) $\kappa$ es inaccesible y tiene el árbol propiedad.
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(propiedad del filtro) Si $M$ es un conjunto que contiene como máximo $\kappa$ -muchos subconjuntos de $\kappa$ , entonces hay un $\kappa$ -Filtro completo no principal $F$ midiendo cada conjunto en $M$ .
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(propiedad de incrustación débil) Para cada $A\of\kappa$ hay un conjunto transitivo $M$ de tamaño $\kappa$ con $\kappa\in M$ y un conjunto transitivo $N$ con una incrustación $j:M\to N$ con punto crítico $\kappa$ .
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(propiedad de incrustación) Para todo conjunto transitivo $M$ de tamaño $\kappa$ con $\kappa\in M$ hay un conjunto transitivo $N$ y una incrustación $j:M\to N$ con punto crítico $\kappa$ .
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(propiedad de incrustación normal) Para cada $\kappa$ -modelo $M$ allí es un $\kappa$ -modelo $N$ y una incrustación $j:M\to N$ con punto crítico $\kappa$ , de tal manera que $N=\{j(f)(\kappa)\mid f\in M\}$ .
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(propiedad de incrustación de Hauser) Para cada $\kappa$ -modelo $M$ allí es un $\kappa$ -modelo $N$ y una incrustación $j:M\to N$ con punto crítico $\kappa$ tal que $j,M\in N$ .
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(propiedad de la partición) $\kappa\to(\kappa)^2_2$ .
Prueba: ( la compacidad débil implica la propiedad de extensión ) Supongamos que que $L_{\kappa,\kappa}$ presenta la propiedad de compacidad débil y supongamos $A\of V_\kappa$ . En primer lugar, argumentamos que $\kappa$ es inaccesible. La regularidad de $\kappa$ se desprende de nuestra suposición de que $\newcommand\ltkappa{{{<}\kappa}}\kappa^\ltkappa=\kappa$ (aunque incluso sin esa suposición, se deduce de la propiedad de compacidad débil de la compacidad). Supongamos ahora que $2^\beta\geq\kappa$ para algunos $\beta<\kappa$ . Sea $L$ sea la lengua que tiene un símbolo constante $\check\alpha$ por cada $\alpha<\kappa$ y un predicado unario símbolo $U$ . Para cualquier $x\of\beta$ , dejemos que $\sigma_x$ sea la sentencia $(\bigvee_{\alpha\in x}\neg U(\check\alpha))\vee(\bigvee_{\alpha\in\beta\setminus x} U(\check\alpha))$ . Así, $\sigma_x$ afirma que $U$ es diferente de $x$ en el plató $\{\check\alpha\mid \alpha<\beta\}$ . Sea $S$ sea la teoría formada por todos los $Los\sigma_x$ para $x\of\beta$ . Esta teoría tiene un tamaño $2^\beta$ pero el lenguaje de $S$ sólo tiene tamaño $\beta$ . Desde $2^\beta\geq\kappa$ La teoría $S$ es $\kappa$ -satisfacible, ya que cualquier subteoría de tamaño inferior a $\kappa$ omitirá algunos $\sigma_x$ y entonces podemos interpretar $\check\alpha$ como $\alpha$ y $U$ como $x$ para construir un modelo. Pero claramente $S$ no es satisfacible, ya que $U$ debe elegir algún patrón $x=\{\alpha<\beta\mid U(\check x)\}$ bajo cualquier interpretación. Así que $\kappa$ es inaccesible.
A continuación, demostramos que $\kappa$ tiene la propiedad de extensión. Sea $L$ sea la lengua con un símbolo constante $\check a$ por cada $a\in V_\kappa$ así como un símbolo de relación binaria $\check\in$ , un símbolo constante adicional $c$ y un símbolo de predicado $\dot A$ . Sea $R$ sea la teoría de primer orden $\text{Th}(\langle V_\kappa,{\in},A,a\rangle_{a\in V_\kappa})\cup\{c\neq\check a\mid a\in V_\kappa\}$ junto con la afirmación infinita $\sigma=\neg\exists\vec x(\wedge x_{n+1}\in x_n)$ que afirma que $\check\in$ está bien fundada. Esta teoría es $\kappa$ -satisfactible, interpretando $c$ en la estructura $\langle V_\kappa,{\in},A\rangle$ para ser uno de los $\check a$ que falta en la subteoría. Por la propiedad de compacidad débil existe un modelo $\langle W,{\in^*},A^*\rangle$ satisfaciendo $R$ . La relación $\in^*$ en $W$ debe estar bien fundado, ya que el estructura satisface $\sigma$ . Tomando el colapso de Mostowski, podemos podemos suponer que $W$ es un conjunto transitivo y $\in^*$ es el $\in$ relación. Además, como la teoría de primer orden de $\langle V_\kappa,\in,A\rangle$ se satisface, se deduce que $V_\kappa\of W$ y $\langle V_\kappa,{\in},A\rangle\elesub \langle W,{\in},A^*\rangle$ , según se desee.
( la extensión implica la propiedad del árbol ) Supongamos $\kappa$ tiene el propiedad de extensión. En primer lugar, demostramos que $\kappa$ es inaccesible. La regularidad se desprende de $\kappa^\ltkappa=\kappa$ (pero también se deduce directamente de la propiedad de extensión). Si $2^\beta\geq\kappa$ para algunos $\beta<\kappa$ , entonces dejemos que $\vec a=\langle a_\alpha\mid \alpha<\kappa\rangle$ ser un $\kappa$ -secuencia de subconjuntos distintos de $\beta$ . Por la propiedad de Extensión existe un conjunto transitivo $W$ y $\vec a^*$ tal que $\langle V_\kappa,{\in},\vec a\rangle\elesub\langle W,{\in},\vec a^*\rangle$ . Sea $\kappa^*=W\newcommand\intersect{\cap}\intersect\newcommand\ORD{\text{Ord}}\ORD$ , y observa que $\kappa<\kappa^*$ . Sea $a$ sea el $\kappa^{th}$ elemento de la secuencia $\vec a^*$ . Así, $a\of\beta$ y en consecuencia $a\in V_\kappa$ . Desde $W$ cumple con lo siguiente $a$ aparece en la secuencia $\vec a^*$ se deduce por elementalidad que $a$ también aparece en $\vec a$ . Así, $a=a_\alpha$ para algunos $\alpha<\kappa$ y así $a$ aparece dos veces en $\vec a^*$ , en coordenadas $\alpha$ y $\kappa$ , contradiciendo que estos fueran subconjuntos distintos de $\kappa$ . Así que hemos establecido que $\kappa$ es inaccesible.
Supongamos ahora que $T$ es un $\kappa$ -árbol. Sustituyendo $T$ con un copia isomorfa, si es necesario, podemos suponer $T\of\kappa^\ltkappa\of V_\kappa$ . Por la propiedad de Extensión, existe un conjunto transitivo $W$ y un subconjunto $T^*\of W$ con $\langle V_\kappa,{\in},T\rangle\elesub\langle W,{\in},T^*\rangle$ . De ello se desprende que $T^*$ es un árbol de altura $\kappa^*=W\intersect\ORD$ . Además, para cualquier $\alpha<\kappa$ , el $\alpha^{th}$ nivel de $T$ que es un elemento de $V_\kappa$ , es por elementalidad también el $\alpha^{th}$ nivel de $T^*$ . Así, $T^*$ es una extensión final de $T$ . Sea $q\in T^*$ sea cualquier nodo de el $\kappa^{th}$ nivel de $T^*$ y considerar el conjunto de predecesores $b=\{p\in T^*\mid p<_{T^*} q\}$ . Los elementos de $b$ forman un subconjunto linealmente ordenado de $T^*$ en los niveles inferiores $\kappa$ . Así, $b$ es un $\kappa$ -sufrir la rama a través de $T$ . Así que $\kappa$ tiene la propiedad de árbol.
( la propiedad del árbol implica la propiedad del filtro ) Supongamos que $\kappa$ es inaccesible y tiene la propiedad de árbol. Supongamos que $\{A_\alpha\mid \alpha<\kappa\}$ es una colección de $\kappa$ muchos subconjuntos de $\kappa$ . Ampliando la colección si es necesario, supongamos supongamos que todos los monotonos $\{\xi\}$ , para $\xi<\kappa$ , aparecen en la lista. Para cada $s\in 2^\beta$ , donde $\beta<\kappa$ , dejemos que $A_s$ sea el resultado de la intersección de todos los $A_\alpha$ o el complemento $\kappa\setminus A_\alpha$ , elegidos en función de la valores de $s(\alpha)$ . Es decir, $A_s=(\newcommand\Intersect{\bigcap}\intersect\{A_\alpha\mid s(\alpha)=1\})\intersect(\Intersect\{\kappa\setminus A_\alpha\mid s(\alpha)=0\})$ . Sea $T=\{s\in 2^\ltkappa\mid |A_s|=\kappa\}$ . Esto es claramente un árbol. Para cualquier $\beta<\kappa$ podemos definir para cualquier $\gamma<\kappa$ una secuencia $s_\gamma\in 2^\beta$ para que $s_\gamma(\alpha)=1\iff\gamma\in A_\alpha$ para todos $\alpha<\beta$ . En particular, $\gamma\in A_{s_\gamma}$ y así $\kappa=\newcommand\Union{\bigcup}\Union\{A_s\mid s\in 2^\beta\}$ . Desde $2^\beta<\kappa$ Debe ser que algunos $A_s$ tiene tamaño $\kappa$ y así $T$ tiene nodos en el $\beta^{th}$ nivel. Así, $T$ es un $\kappa$ -árbol. Por la propiedad del árbol, hay un $\kappa$ -rama $b\in[T]$ . Sea $F$ sea el filtro generado por el $A_{b\newcommand\restrict{\upharpoonright}\restrict\beta}$ para $\beta<\kappa$ . Así, $X\in F$ si y sólo si $A_{b\restrict\beta}\of X$ para algunos $\beta<\kappa$ . Desde $b$ no puede optar por añadir un singleton $\{\xi\}$ ya que esto no tiene tamaño $\kappa$ debe elegir el complemento, por lo que el filtro $F$ no es principal. Dado que la secuencia de $A_{b\restrict\beta}$ es descendente y $\kappa$ es regular, la filtro $F$ es $\kappa$ -completa. Y puesto que cualquiera de los dos $A_\alpha\in F$ o $\kappa\setminus A_\alpha\in F$ explícitamente en la etapa $\alpha$ , dependiendo de si $b(\alpha)=1$ o $0$ el filtro $F$ decide cada conjunto de nuestra familia original. Así que $\kappa$ tiene el filtro propiedad.
( la propiedad del filtro implica la propiedad de incrustación débil ) Supongamos que la propiedad del filtro y supongamos $A\of\kappa$ . Por el teorema de Löwenheim-Skolem y utilizando $\kappa^\ltkappa=\kappa$ , existe un conjunto transitivo $M\elesub H_{\kappa^+}$ con $A\in M$ y $M^\ltkappa\of M$ . Por la propiedad del filtro, existe un $\kappa$ -Filtro completo no principal $F$ decidir cada elemento de $P(\kappa)^M$ . Considere la ultrapotencia $M^\kappa/F$ , donde utilizaremos sólo funciones $f:\kappa\to M$ con $f\in M$ . Las relaciones $f=_F g$ y $f\in_F g$ siguen siendo relaciones de equivalencia, incluso aunque $F$ puede no ser un ultrafiltro, porque el correspondiente conjuntos $\{\alpha\mid f(\alpha)=g(\alpha)\}$ y $\{\alpha\mid f(\alpha)\in g(\alpha)\}$ están en $M$ si $f$ y $g$ son. Desde $F$ es $\kappa$ -completa y $M$ está cerrado bajo $\omega$ -secuencias, se deduce que $\in_F$ está bien fundada. Así, el ultrapoder $N=\newcommand\Ult{\text{Ult}}\Ult(M,F)$ es un conjunto transitivo. La prueba de que la incrustación canónica $j:M\to N$ es elemental procede como en el Teorema de Łos, por inducción a la complejidad de la fórmula, apelando al axioma de elección en $M$ en el caso existencial. Del mismo modo, utilizando $\kappa$ -completo, se muestra para $\alpha<\kappa$ que si $[f]_F\in[c_\alpha]_F$ entonces $f=_F c_\beta$ para algunos $\beta<\alpha$ y por lo tanto $j(\alpha)=\alpha$ mientras tanto, $\kappa\leq [id]_F<j(\kappa)$ Así que el punto crítico de $j$ es $\kappa$ . Así que $j:M\to N$ es como deseado.
( la incrustación débil implica la propiedad de incrustación ) Supongamos la propiedad de incrustación débil propiedad de incrustación y supongamos $M$ es un conjunto transitivo de tamaño $\kappa$ . Desde $M\in H_{\kappa^+}$ podemos codificar $M$ con un conjunto $A\of\kappa$ y luego encontrar un conjunto transitivo $\bar M$ con $M\in \bar M$ y una incrustación $j:\bar M\to \bar N$ con punto crítico $\kappa$ . La restricción $j\restrict M:M\to j(M)$ es la deseada.
( la incrustación implica la propiedad de incrustación normal ) Supongamos que $\kappa$ tiene la propiedad de incrustación, y supongamos que $M$ es un $\kappa$ -modelo. Por la propiedad de incrustación existe una incrustación $j:M\to N$ con punto crítico $\kappa$ . Sea $X=\{j(f)(\kappa)\mid f\in M\}$ sea el casco de la semilla de $\kappa$ a través de $j$ . De ello se desprende que $X\elesub N$ y, por lo tanto, si $\pi:X\cong N_0$ es el Mostowski obtenemos la incrustación factorial inducida, donde $k=\pi^{-1}$ y $j_0=\pi\circ j$ .
Tenga en cuenta que $N_0=\{\pi(j(f)(\kappa))\mid f\in M\}=\{j_0(f)(\kappa)\mid f\in M\}$ . Si $\vec x=\langle x_\alpha\mid \alpha<\beta\rangle\in N_0^\ltkappa$ entonces hay funciones $f_\alpha\in M$ con $x_\alpha=j_0(f_\alpha)(\kappa)$ . Desde $M$ es un $\kappa$ -se deduce que $\langle f_\alpha\mid \alpha<\beta\rangle\in M$ . Así, $\langle j_0(f_\alpha)\mid \alpha<\beta\rangle\in N_0$ y, por tanto, mediante la evaluación de estas funciones en $\kappa$ se deduce que $\vec x=\langle j_0(f)(\kappa)\mid \alpha<\beta\rangle\in N_0$ y así $N_0$ es un $\kappa$ -modelo como deseado.
( la incrustación normal implica la propiedad de incrustación de Hauser ) Supongamos que $\kappa$ tiene la propiedad de incrustación normal y supongamos que $M$ es a $\kappa$ -Modelo. Dado que $M$ tiene tamaño $\kappa$ existe una relación $E$ en $\kappa$ tal que $\langle M,{\in}\rangle\cong\langle \kappa,E\rangle$ . Así, $M$ debe ser el colapso Mostowski del relación $E$ . Por el teorema de Löwenheim-Skolem, existe es un $\kappa$ -modelo $\bar M$ con $E\in \bar M$ . Por la propiedad de hay una incrustación $j:\bar M\to \bar N$ con punto crítico $\kappa$ . Desde $j(E)\intersect\kappa\times\kappa=E$ se deduce que $E\in\bar N$ y desde el colapso de Mostowski de $E$ es único, que $M$ es en ambos $\bar M$ y $\bar N$ . Por elementalidad, si $x\in M$ es codificado por $\alpha$ con respecto a $E$ entonces $j(x)$ está codificado por $j(\alpha)=\alpha$ con respecto a $j(E)$ . El modelo $N$ puede por lo tanto, reconstruir $j\restrict M$ de $E$ y $j(E)$ . Desde $\bar M$ puede ver que $M^\ltkappa\of M$ se deduce que $\bar N\models j(M)^{< j(\kappa)}\of j(M)$ . En particular, $M$ y $j\restrict M$ que tienen un tamaño $\kappa$ en $N$ debe estar en $j(M)$ . Así, $j\restrict M:M\to j(M)$ tiene el deseado Hauser propiedad de incrustación de Hauser.
( propiedades de incrustación todas equivalentes ) La incrustación de Hauser implica inmediatamente la propiedad de incrustación débil, ya que cualquier $A\of\kappa$ puede colocarse en un $\kappa$ -modelo $M$ .
( la incrustación implica la propiedad de compacidad débil ) Supongamos que $\kappa$ tiene las propiedades de incrustación. En primer lugar, demostramos que $\kappa$ es inaccesible. La regularidad se desprende de $\kappa^\ltkappa=\kappa$ (aunque también se deduce de la propiedad de incrustación débil). Si $2^\beta\geq\kappa$ para algunos $\beta<\kappa$ , entonces hay un $\kappa$ -secuencia $\vec a=\langle a_\alpha\mid \alpha<\kappa\rangle$ de subconjuntos distintos de $\beta$ . Podemos codificar $\vec a$ con un subconjunto de $\kappa$ y, por lo tanto, encontrar un $\kappa$ -modelo $M$ y una incrustación $j:M\to N$ con $\vec a\in M$ . Si $a=j(\vec a)(\kappa)$ sea el $\kappa^{th}$ elemento de $j(\vec a)$ , entonces por $M^\ltkappa\of M$ se deduce que $a\in M$ . Desde $a\of\beta<\kappa$ se deduce que $j(a)=a$ . Desde $j(a)$ aparece en $j(\vec a)$ se deduce por elementalidad que $a$ aparece en $\vec a$ . Así que $a=a_\alpha$ para algunos $\alpha<\kappa$ . Pero como $j(\vec a)(\alpha)=j(a_\alpha)=a_\alpha$ Esto significa que $a$ aparece al menos dos veces en la secuencia $j(\vec a)$ , en las coordenadas $\alpha$ y $\kappa$ contradiciendo la suposición de que los conjuntos eran distintos. Así que $\kappa$ es inaccesible.
Por último, verificamos la propiedad de compacidad débil. Supongamos que $T$ es un $\kappa$ -teoría satisfactoria en un $L_{\kappa,\kappa}$ idioma $L$ de tamaño máximo $\kappa$ . Desde $\kappa$ es inaccesible, se deduce que $T$ tiene un tamaño máximo de $\kappa$ . En podemos suponer que los símbolos de $L$ se construyen a partir de ordinales inferiores $\kappa$ y así $T$ puede codificarse con un subconjunto de $\kappa$ . Así, por el $\kappa$ -de la propiedad de incrustación del modelo, hay una $\kappa$ -modelo $M$ con $T,L\in M$ y una incrustación $j:M\to N$ con punto crítico $\kappa$ en un conjunto transitivo $N$ . Desde $V_\kappa\of M$ el modelo $M$ tiene todas las sub-teorías de $T$ de tamaño inferior a $\kappa$ y los modelos que existen para ellos (para esta conclusión, se necesita una versión infinita de la teorema de Löwenheim-Skolem, que se puede demostrar mediante un análogo infinito de la prueba clásica). Así pues, $M$ satisface que $T$ es $\kappa$ -satisfactible. Por elementalidad, se deduce que $N$ cumple con lo siguiente $j(T)$ es $j(\kappa)$ -satisfactible. Pero $j$ fija cada elemento de $T$ individualmente, por lo que $T=j(T)\intersect V_\kappa\in N$ y así $T$ es una subteoría de $j(T)$ de tamaño inferior a que $j(\kappa)$ . Así, $N$ tiene un modelo $\cal A$ de $T$ . Además, la relación de satisfacción es absoluta para los conjuntos transitivos conjuntos transitivos, por lo que $\cal A$ realmente es un modelo de $T$ , según se desee.
( la incrustación implica la propiedad de partición ) La mayoría de las otras cuentas derivan la propiedad de partición de la propiedad de árbol, pero el punto de vista de la incrustación de incrustación, siempre eficaz, parece simplificar las cosas. Supongamos que $\kappa$ tiene las propiedades de incrustación y supongamos que $F:[\kappa]^2\to 2$ . Desde $F\in H_{\kappa^+}$ Podemos encontrar un $\kappa$ -modelo $M_0$ con $F\in M_0$ . Por la propiedad de incrustación normal existe una $\kappa$ -modelo $N_0$ y una incrustación $j_0:M_0\to N_0$ con punto crítico $\kappa$ . Dado que toda la incrustación $j_0:M_0\to N_0$ tiene un tamaño hereditario $\kappa$ podemos encontrar un $\kappa$ -modelo $M$ con $M_0$ , $N_0$ y $j_0$ todos tienen tamaño $\kappa$ en $M$ . Por la propiedad de incrustación de Hauser existe una incrustación $j:M\to N$ tal que $j,M\in N$ . Aplicando $j$ a $j_0:M_0\to N_0$ produce una incrustación $h=j(j_0):j(M_0)\to j(N_0)$ y un diagrama de factores. Sea $j^*=h\circ j\restrict M_0$ sea el composición de la diagonal. Este diagrama conmuta porque $j_0(x)=y$ implica $j(j_0)(j(x))=j(y)$ . Sea $\mu_0=\{X\of\kappa\mid X\in M_0\And\kappa\in j_0(X)\}$ sea el $M_0$ -filtro normal inducido por $j_0$ . Desde $\mu_0$ tiene tamaño $\kappa$ en $M$ se deduce de $P(\kappa)^M\of N$ que $\mu_0\in N$ . Utilizando $j\in N$ se deduce también que $j\newcommand\image{''}\image\mu_0\in N$ . Desde $\mu_0\of M_0$ , es se deduce que $j\image\mu_0\of j(M_0)$ . Desde $M$ sabe que $M_0^\ltkappa\of M_0$ se deduce que $N\models j(M_0)^\kappa\of j(M_0)$ y por lo tanto $j\image\mu_0\in j(M_0)$ . Esta es una colección de $\kappa$ muchos elementos de $j(\mu_0)$ en $j(M_0)$ , y así por el $j(\kappa)$ -completo de $j(\mu_0)$ en $j(M_0)$ se deduce que $I=\Intersect j\image\mu_0\in j(\mu_0)$ . Arreglar cualquier $\delta_0\in I$ y observar que $X\in\mu_0\iff\delta_0\in j(X)$ para $X\in M_0$ . Sea $\delta_1=j(\kappa)$ y aplicar $j$ a la definición de $\mu_0$ para ver que $Y\in j(\mu_0)\iff \delta_1\in h(Y)$ para todos $Y\in j(M_0)$ .
Supongamos que $j^*(F)(\delta_0,\delta_1)=i$ . Construiremos una secuencia secuencia monocromática $\langle \gamma_\alpha\mid \alpha<\kappa\rangle$ tal que (i) $\alpha<\alpha'\implies F(\gamma_\alpha,\gamma_{\alpha'})=i$ y (ii) $\{\xi\mid F(\gamma_\alpha,\xi)=i\}\in\mu_0$ por cada $\alpha<\kappa$ . Supongamos que $\langle \gamma_\alpha\mid \alpha<\beta\rangle$ está definida y nos gustaría definir $\gamma_\beta$ . Considere el conjunto de valores posibles para $\gamma_\beta$ , a saber $X=\{\gamma<\kappa\mid \forall\alpha<\beta\,\,F(\gamma_\alpha,\gamma)=i\text{ and }\{\xi\mid F(\gamma,\xi)=i\}\in\mu_0\}$ . Basta con demostrar que $X$ no es vacío. Por (ii) para cualquier $\alpha<\beta$ sabemos que $j(F)(\gamma_\alpha,\delta_0)=i$ ya que $\delta_0$ es una semilla para $\mu_0$ a través de $j$ . De la misma manera, $\{\xi\mid j(F)(\delta_0,\xi)=i\}\in j(\mu_0)$ ya que $\delta_1$ está en $h$ de este conjunto, a la luz de $j^*(F)(\delta_0,\delta_1)=i$ . Así, $\delta_0\in j(X)$ . En se deduce que $X$ no tiene límites en $\kappa$ , por lo que podemos elegir $\gamma_\beta\in X$ y continuar la construcción. Así que $F$ admite una conjunto monocromático de tamaño $\kappa$ .
( la partición implica la propiedad del árbol ) Supongamos que $\kappa\to(\kappa)^2_2$ . Primero demostramos que $\kappa$ es inaccesible. La regularidad se desprende de $\kappa^\ltkappa=\kappa$ (pero incluso sin esta hipótesis, se deduce de la partición de la partición). Si $2^\beta\geq\kappa$ para algunos $\beta<\kappa$ entonces dejemos que $\langle a_\alpha\mid \alpha<\kappa\rangle$ ser un $\kappa$ -secuencia de subconjuntos distintos de $\beta$ . Sea $F(\alpha,\beta)=0$ si $a_\alpha$ precede a $a_\beta$ en el ordenación léxica de $2^\beta$ y por otra parte $1$ . No es difícil demostrar que no hay ninguna secuencia monótona de longitud $\beta^+$ en el orden léxico en $2^\beta$ . En consecuencia, no puede haber no puede haber un conjunto monocromático para $F$ de tamaño $\kappa$ . Así que $\kappa$ es inaccesible.
Supongamos ahora que $T$ es un $\kappa$ -árbol. Podemos suponer que el conjunto subyacente de $T$ es exactamente $\kappa$ . Para dos nodos cualesquiera $\alpha$ y $\beta$ en $T$ digamos que $\beta$ es a la {\df derecha} de $\alpha$ en $T$ , si $\alpha\perp_T\beta$ y $\alpha'<\beta'$ , donde $\alpha'\leq_T\alpha$ y $\beta'\leq_T\beta$ son los menos en $T$ tal que $\alpha'\perp_T\beta'$ . Definir $F(\alpha,\beta)=0$ si $\beta$ es por encima o a la derecha de $\alpha$ y por otra parte $1$ . Supongamos que $H\of\kappa$ es un conjunto monocromático de tamaño $\kappa$ . Supongamos que primero que el valor monocromático es $0$ . Así, siempre que $\alpha<\beta$ en $H$ entonces $\beta$ está por encima o a la derecha de $\alpha$ en $T$ . Aplicando la propiedad de partición una vez más, podemos podemos suponer además que sólo se da una de estas respuestas. Si cualquier $\alpha<\beta$ en $H$ tiene $\alpha<_T\beta$ entonces los elementos de $H$ están ordenados linealmente, y $T$ tiene un $\kappa$ -rama. En caso contrario, suponemos que siempre que $\alpha<\beta$ en $H$ entonces $\beta$ está a la derecha de $\alpha$ en $T$ . Por lo tanto, podemos seguir el camino "más derecho" a través de (la $T$ -predecesores de elementos de) $H$ . En concreto, utilizando el hecho de que los niveles de $T$ tienen un tamaño inferior a $\kappa$ y $\kappa$ es regular, hay en cada nivel $\xi$ un nodo más a la derecha $\zeta$ que se produce como $T$ -predecesor de todos los elementos suficientemente grandes de $H$ . El conjunto de estos nodos está claramente ordenado de forma lineal, y por tanto forma un $\kappa$ -sufrir la rama a través de $T$ . El último caso, cuando el valor monocromático de $F$ en $H$ es $1$ es similar, excepto que seguimos la rama más a la izquierda a través de $H$ para proporcionar un $\kappa$ -sufrir la rama a través de $T$ . QED
Creo que fue en estos apuntes de clase donde los términos $\kappa$ -y la "propiedad Hauser propiedad" fueron introducidos, ya que recuerdo haber inventado esa terminología. (Conocía a Kai Hauser desde que era un estudiante universitario en Caltech, donde él era estudiante de posgrado).
Por último, permítanme mencionar que Sean Cox, Brent Cody, Thomas Johnstone y yo tenemos un artículo en preparación llamado, "La propiedad de incrustación débilmente compacta", que trata de la propiedad cuando se elimina el requisito de inaccesibilidad. Hay algunas cosas muy interesantes, y voy a publicar un enlace cuando el artículo esté disponible. Pero mientras tanto, os remito a las diapositivas de mi charla La propiedad de incrustación débilmente compacta .
