Módulos D holonómicos regulares como generalización de los puntos singulares regulares

Question

Estoy tratando de entender por qué la definición de un módulo D holonómico regular es una buena generalización de la definición habitual de un punto singular regular para una ecuación diferencial. Más concretamente, esta es la definición de módulo D holonómico regular que quiero utilizar

Un módulo D $M$ en una variedad compleja $X$ es holonómico si $\text{char}(M)$ tiene la misma dimensión que $X$ . Además, es regular si hay una buena filtración $\{M_j\}_{j\in \mathbb{Z}}$ tal que $$f\cdot\text{gr}(M)=0$$ para todos $f\in \text{gr}(D_X)$ desapareciendo en $\text{char}(M).$

Ahora me gustaría probar esta definición con un ejemplo. Considero una ecuación de Bessel $$P(f) :=(z^2 \partial_z^2 + z\partial_z + (z^2-4))(f)=0.$$ El punto $z=0$ es regular singular gracias a la $z^2$ . Por supuesto, si el coeficiente principal se sustituye por $z^3$ se convierte en singular irregular. Ahora considero el módulo D $$M := D_{\mathbb{C}}/D_{\mathbb{C}} P$$ naturalmente a esta ecuación. Normalmente deberíamos ser capaces de demostrar que este módulo D sobre $\mathbb{C}$ es holonómico regular. (Y no regular si ponemos $z^3$ como coeficiente principal) Primero la variedad característica viene dada por el conjunto nulo de $(z,w)\mapsto z^2w^2$ y así $$\text{char}(M) = \mathbb{C} \cup T_0^{*}\mathbb{C}$$ que tiene la dimensión $1$ por lo que el módulo es holonómico. Ahora, como candidato a la buena filtración, Simon Wadsley propone tomar $$M_n=D_n.(1+D_\mathbb{C}P).$$

Ahora me estoy perdiendo, ¿cómo puedo probar que $f\cdot\text{gr}(M)=0$ para todos $f\in \text{gr}(D_X)$ desapareciendo en $\text{char}(M) \,?$ No tiene mucho sentido para mí.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Voy a demostrar (eventualmente) que su propuesta de filtración no trabajo.

Dejemos que $I$ sea un ideal de $D_\Bbb{C}$ y que $M=D_\Bbb{C}/I$ . Entonces, dejando $u$ sea la imagen en $M$ de $1$ (así $\operatorname{ann}_{D_\Bbb{C}}(u) = I$ ),

1. la filtración $M_j = D_j u$ de $M$ es una buena filtración;
2. la filtración $I_j = D_j \cap I$ de $I$ es una buena filtración;
3. los mapas en la secuencia exacta de $D_\Bbb{C}$ -módulos $$ 0\to I \to D_\Bbb{C} \to M \to 0$$ son estrictamente filtrados (recordemos que un mapa $f\colon M\to N$ es estrictamente filtrado si $f(M)\cap N_j = f(M_j)$ para todos $j$ ).

Por 3., la secuencia $$0 \to \operatorname{gr} I \to \operatorname{gr}D_\Bbb{C} \to \operatorname{gr} M \to 0$$ sigue siendo exacta, por lo que $ \operatorname{gr}M \cong \operatorname{gr}D_\Bbb{C}/\operatorname{gr} I$ y la variedad característica de $M$ es el lugar cero de $\operatorname{gr} I$ .

Caso $I$ es principal:

Supongamos que $I= D_\Bbb{C} P$ es principal. Entonces (¡prueba esto!) $\operatorname{gr} I$ es generado por el símbolo principal $\sigma(P)$ de $P$ . Por lo tanto, $\operatorname{gr} M \cong \operatorname{gr} D_\Bbb{C}/(\sigma(P))$ .

En particular, si $P = z^2 \partial_z^2 + z\partial_z + z^2-4$ entonces $\sigma(P)=z^2\partial_z^2$ y por lo tanto $\operatorname{gr} M \cong \operatorname{gr} D_\Bbb{C}/(z^2\partial_z^2)$ . Sin embargo, el ideal de $\operatorname{Ch}(M)$ es $(z\partial_z)$ lo que significa que esta filtración que elegimos no es el que la prueba afirma su existencia.