Encuentra las soluciones reales para el sistema: $ x^3+y^3=1$ , $x^2y+2xy^2+y^3=2.$

Question

Encuentra las soluciones reales para el sistema: $$\left\{ \begin{array}{l} x^3+y^3=1\\ x^2y+2xy^2+y^3=2\\ \end{array} \right. $$

De un libro con ejercicios para concursos de matemáticas. Las soluciones proporcionadas son: $(x,y)=(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}},\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}})$ y $(\dfrac{1}{3^{\frac{2}{3}}},\dfrac{2}{3^{\frac{2}{3}}})$ . Trabajando con las expresiones pude encontrar que un sistema equivalente es $$\left\{ \begin{array}{l} (x+y)(x^2-xy+y^2)=1\\ y(x+y)^2=2\\ \end{array} \right. $$ Al desarrollar estas expresiones me quedé atascado.

Se agradecen los consejos y las respuestas. Lo siento si esto es un duplicado.

Answer 1

Multiplica la primera ecuación por $2$ y a continuación se igualan los dos lados izquierdos:

$$2x^3+2y^3 = x^2y+2xy^2+y^3.$$

Se trata de una ecuación homogénea de grado $3$ por lo que hay que dividir por $x^3$ :

$$2+2\frac{y^3}{x^3} = \frac{y}{x}+2\frac{y^2}{x^2}+\frac{y^3}{x^3}.$$

Sustituir $u=y/x$ :

$$2+2u^2=u+2u^2+u^3$$

$$u^3-2u^2-u+2=0$$

$$(u^2-1)(u-2)=0$$

$$u=-1, 1 \mbox{ or } 2.$$

Dividiendo la primera ecuación por $x^3$ da $1+u^3 = 1/x^3.$ Conecte cada valor de $u$ para encontrar los valores de $x$ y luego $y$ .

Answer 2

Una pista:

Observe que $xy\ne0$

Set $y=mx$

dividir la resultante de una ecuación por la otra para formar una ecuación cúbica en $m$ con $m+1\ne0$ siendo un factor

Answer 3

Bien, la segunda ecuación es una ecuación cuadrática en $x$ :

$$\text{a}\cdot x^2+\text{b}\cdot x+\text{c}=0\space\Longleftrightarrow\space x=\frac{-\text{b}\pm\sqrt{\text{b}^2-4\cdot\text{a}\cdot\text{c}}}{2\cdot\text{a}}\tag1$$

Ahora, en su ejemplo $\text{a}=\text{y},\text{b}=2\cdot\text{y}^2,\text{c}=\text{y}^3-2$ por lo que obtenemos:

$$x=\frac{-2\cdot\text{y}^2\pm\sqrt{\left(2\cdot\text{y}^2\right)^2-4\cdot\text{y}\cdot\left(\text{y}^3-2\right)}}{2\cdot\text{y}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\text{y}}}-\text{y}\tag2$$