¿Puedo calcular el polinomio mínimo de una matriz con sólo mirar? Por ejemplo...

Question

Supongamos que tengo una matriz $$\begin{bmatrix}3&1&0\\ 0&3&1\\ 0&0&3\end{bmatrix}$$

Sé que el polinomio característico es $(x-3)^3$ y este es también el polinomio mínimo.

Sé que $(x-3)$ no es el polinomio mínimo, simplemente por inspección. $(x-3)^2$ sin embargo no es tan obvio y tendría que probarlo.

Ahora bien, ¿es esta la forma correcta de hacerlo o se supone que puedo simplemente mirar su forma y saber que el polinomio mínimo es $(x-3)^3$ ?

Por ejemplo, mirando
$$\begin{bmatrix}10 &0 &0 \\ 0& 10 &0 \\ 0 &0 &10\end{bmatrix}$$

Puedo ver directamente $(x-10)$ es el polinomio mínimo.

Answer 1

Aquí tienes una información que te ayudará:

Dejemos que $J$ sea una matriz en forma canónica de Jordan, y sea el polinomio característico de $J$ sea $\prod_{k=1}^m(t - \lambda_k)^{n_k}$ . Entonces $n_k$ es el tamaño de el mayor bloque de Jordania asociado a $\lambda_{k}$ .

Si puedes, te sugiero que intentes demostrarlo. Una consecuencia muy bonita de este hecho es que una matriz es diagonalizable si y sólo si $n_k = 1$ para cada $\lambda_k$ en su polinomio mínimo.