Demuestre que el álgebra de división 3D sobre los reales no puede existir utilizando el álgebra lineal

Question

Hay un gran comentario de Jyrki Lahtonen aquí: ¿Por qué el álgebra de cuaterniones es 4d y no 3d?

No es demasiado difícil demostrar que no puede existir un álgebra de división 3D sobre los reales. Si $D$ fuera tal bestia, y $x\in D$ , $x \notin \mathbf{R}$ entonces considere la representación regular izquierda de $D$ por matrices reales de 3x3. La matriz $A$ que representa la multiplicación por $x$ de la izquierda no puede ser escalar, porque $x$ no era uno. Por otro lado, el polinomio de valores propios de $A$ es cúbico, y por lo tanto tiene una raíz $\lambda \in \mathbf{R}$ . Acabamos de demostrar que $x\lambda$ no es invertible.

Esto suena maravilloso, pero está fuera de mi entendimiento. Sería genial si realmente es posible ver la inexistencia de un tipo de sistema numérico sólo usando polinomios y álgebra lineal.

¿Puede alguien aportar los detalles (incluso simplemente enlazar con artículos de la wiki para leerlos)? Por ejemplo:

1) ¿Estamos descartando posibles sistemas numéricos al suponer que existe una representación matricial?

Simplemente dibujando un polinomio cúbico, puedo ver que un extremo debe ir a $+\infty$ y el otro a $-\infty$ por lo que tiene sentido que siempre haya al menos una raíz real. Sin embargo, no entiendo la utilidad de esto. ¿Cómo sabemos que los Reales son un subconjunto de estos nuevos números? (Por ejemplo, con las matrices de 3x3 los reales serían las matrices de 3x3 que son sólo diagonales con todos el mismo número, pero tal vez esos no están incluidos en esta representación de los números 3D. Después de todo, no todas las matrices de 2x2 son números complejos en la representación matricial de 2x2. Tal vez para un sistema numérico 3D, cada componente debe ser "imaginario").

2) ¿Cómo es que el hecho de que haya una raíz real demuestra que no hay un álgebra de división? No sigo el argumento ahí. ¿Cómo entran los polinomios aquí, y cómo demuestra esto que algo no es invertible?

Para entenderlo mejor, ¿cómo falla este argumento con los Reales, los números Complejos o los Cuaterniones? Por ejemplo con los Reales, podríamos considerar la representación trivial por matrices reales de 1x1. Éstas tendrían un polinomio de grado uno de valores propios y, por tanto, también tendrían una raíz real.

Answer 1

1) no, no lo hacemos. Si $D$ fuera un álgebra de división real de dimensión $3$ entonces existe una estructura subyacente de un espacio vectorial real y la multiplicación por la izquierda por $x$ es sólo un endomorfismo lineal real. Se sabe que tienen este tipo de representación (por matrices reales de 3x3). Si no lo sabes tendrás que aprender algo más de álgebra lineal. Además, como $D$ se supone que está libre de divisores cero, debe ser incluso un isomorfismo.

En cuanto a tus otras preguntas, tienes que saber que los valores propios de un endomorfismo real vienen dados por las raíces de su polinomio característico, que para el caso tridimensional resulta ser un polinomio de grado 3. Esto es álgebra lineal básica y, de nuevo, si no lo sabes ya, no podrás entender el razonamiento. Este hecho "es útil", para abordar directamente tu preocupación, porque implica (como se indica en tu cita) que el endomorfismo $x-\lambda id$ no puede tener el rango completo. Volviendo a la estructura de un álgebra de división, este elemento $x-\lambda id$ es ahora divisor de cero, diferente de $0$ . Esto es sólo conectar las definiciones.

En el caso 2d y 4d no puedes demostrar que el polinomio característico tiene un cero (real), porque tendrá grado 2 o 4. Una parábola desplazada, por ejemplo, no tendrá ningún cero real. En el caso 1d no es posible encontrar un $x$ que no es un real (no ser un real es una suposición para $x$ la prueba comienza con).

Nota añadida: es interesante notar que Sir William Rowan Hamilton, un matemático brillante, trató durante toda su vida de encontrar un sistema numérico tridimensional (en vano, por supuesto, ya que no pueden existir). Si se observa la prueba que ha reproducido aquí, cabe preguntarse cómo es posible. Una de las respuestas es que muchas investigaciones y conocimientos matemáticos están profundamente codificados en las definiciones y estructuras que utilizamos hoy en día.