Demostración de que una bola métrica es estrictamente convexa geodésicamente en una variedad de Hadamard

Question

Dejemos que $M$ sea una variedad de Hadamard (completa, conectada y con curvatura seccional $K \leq 0$ ) y arreglar $p \in M, r \geq 0$ . Entonces cada bola métrica $B_r(p)$ de $M$ es estrictamente geodésicamente convexo, es decir, cualquier segmento geodésico que une dos puntos de $B_r(p)$ se encuentra en su totalidad en $B_r(p)$ .

Intuitivamente sé que para un segmento geodésico $\gamma: [0, 1] \to M$ Debería mostrar que $d(\gamma(t), p)$ alcanza su máximo en $\gamma(1)$ (eso acabaría con el problema). Sin embargo, no he sido capaz de reconocer qué es lo que tienen los colectores de Hadamard que obligaría a que esto fuera así. En otro post se sugirió que podría ser una consecuencia del teorema de comparación de Rauch, pero tampoco veo cómo. Agradecería cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, está usted equivocando ligeramente la definición de subconjunto estrictamente cerrado: Lo que has definido es la convexidad ordinaria. Convexidad estricta de un conjunto cerrado $C$ significa que, además de la convexidad $C$ el límite de $C$ no contiene segmentos geodésicos no degenerados.

Ahora, a la pregunta que nos ocupa. No tengo delante el libro de do Carmo, pero Jorgen Jost en

Jost, Jürgen , Geometría riemanniana y análisis geométrico , Universitext. Berlín: Springer (ISBN 978-3-540-77340-5/pbk). xiii, 583 p. (2008). ZBL1143.53001 .

demuestra, como aplicación del Teorema de Comparación de Rauch, una serie de propiedades geométricas de la función de distancia de Riemann $d$ en los colectores de Hadamard $X$ En la sección 4.6-4.8 del capítulo 4. Por ejemplo, demuestra que la función $f(x):= \frac{1}{2}d^2(p,x)$ satisface la desigualdad $$ Hess_f(x)(v,v)\ge ||v||^2 $$ por cada $x\in X$ y $v\in T_xX$ (Lema 4.8.2). Aquí $Hess$ denota el hessiano. Esto establece una forma fuerte de convexidad de la función $f$ . Dejaré que deriven la convexidad estricta de las bolas cerradas en $X$ de esta desigualdad. También se puede derivar fácilmente la conclusión deseada del lema 4.8.3: Si $\gamma(t)$ es una geodésica en $X$ entonces $$ d^2(p, \gamma(t))\le (1-t) d^2(p, \gamma(0)) + t d^2(p, \gamma(1)) - t(1-t)d^2(\gamma(0), \gamma(1)). $$

Sin embargo, la forma definitiva de la convexidad está en el Teorema 4.8.2, que establece la convexidad de la función $d^2(c_1(t), c_2(t))$ para cualquier par de geodésicas $c_1, c_2$ en $X$ .

Por cierto, me gusta mucho el libro de Jost para otras cosas como el tratamiento de las conexiones y la curvatura en los haces vectoriales, etc.