Conversión de un campo vectorial de sistemas cartesianos a polares coordenados

Question

Entiendo que aquí hay que evitar las preguntas de libro de texto, pero me gustaría pedir ayuda a este foro. Se trata de una pregunta de mecánica que implica lo que debería ser una conversión bastante sencilla entre los sistemas de coordenadas cartesianas y polares. Pero esta pregunta nos ha dejado a mí y a mis compañeros perplejos porque la respuesta obtenida de la conversión no se acerca a la solución requerida. La pregunta es la siguiente:

Demuestre que las ecuaciones $$E_r = \frac{p}{2\pi\epsilon_0r^3}\cos\theta \qquad E_\theta=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}\sin\theta$$ seguir de $$E_x=\frac{3p\sin\theta\cos\theta}{4\pi\epsilon_0r^3}\qquad E_z= \frac{p(3\cos^2\theta-1)}{4\pi\epsilon_0r^3}$$

( imagen original del problema )

$E_x$ , $E_z$ , $E_r$ , $E_\theta$ representan el vector de campo eléctrico a lo largo del $x$ -eje, $z$ -eje, $r$ -componente y $\theta$ -componente. Entonces, mi pregunta es si esta prueba es posible o hay un pequeño error que al corregirlo da la respuesta requerida.

Edición: Aquí está mi intento de prueba:

Supuestos:

(a) $$E_r = \sqrt {E_x^2+E_z^2}$$

(b) $$E_\theta = \tan^{-1} (E_z/ E_x)$$

(c) $$k = \frac{p}{4\pi\epsilon_0r^3}$$

Entonces obtenemos,

$$E_r = 2k\cos\theta$$ $$E_\theta = k\sin\theta$$ $$E_x = 3k\sin\theta\cos\theta$$ $$E_z = k(3\cos^2\theta -1)$$

Introduciendo estos valores en (a) y simplificando, obtuve $$E_r = k\sqrt {3\cos^2\theta +1}$$ después de lo cual me quedé atascado.

Introduciendo los valores en (b) y simplificando, obtuve $$E_\theta = \tan^{-1} \frac {3\cos^2\theta-1}{3\sin\theta\cos\theta}$$

He intentado simplificar esto separando una $cos^2\theta$ terma para poder tener dos términos de coseno en mi numerador: $$E_\theta = \tan^{-1} \frac {\cos^2\theta+\cos2\theta}{3\sin\theta\cos\theta}$$ Los he separado y he multiplicado el segundo término por $\frac 22$ para poder convertir ambos en términos tangentes: $$E_\theta = \tan^{-1} \frac {\cos^2\theta}{3\sin\theta\cos\theta}+ \frac {\cos2\theta}{3\sin\theta\cos\theta}*\frac 22$$ $$E_\theta = \tan^{-1} \frac {1}{3\tan\theta}+ \frac {1}{3\tan2\theta}$$ Todos los intentos posteriores fueron en vano.

Answer 1

Probablemente, el problema está mal planteado o mal entendido. En cualquier caso, el enunciado es ambiguo, ya que las componentes vectoriales en un sistema de coordenadas supuestamente cartesianas se dan utilizando coordenadas polares $(r,\theta)$ .

Reconociendo que el valor transformado es un vector la transformación se puede obtener utilizando: $$ \begin{pmatrix} E_r\\ E_\theta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x\\ E_z \end{pmatrix}=-\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^3} \begin{pmatrix} 2\sin\theta\\ \cos\theta \end{pmatrix}. $$

En comparación con el resultado requerido, hemos obtenido el signo opuesto e intercambiado las funciones trigonométricas. Aun así, no afirmaría que el resultado no se acerca a la solución requerida. Incluso se puede imponer la solución deseada mediante la convención de que el ángulo $\theta$ se mide en el sentido de las agujas del reloj desde el $z$ -eje. Y es muy probable que exactamente esta convención haya sido utilizada (probablemente sin intención) por los autores del ejercicio, ya que el ejemplo se origina obviamente en el campo dipolar presentado en sistema de coordenadas cilíndricas con momento dipolar dirigido a lo largo de $z$ -eje.