No estoy seguro de entender del todo lo que quieres, pero aquí tienes al menos una respuesta parcial. Usted tiene $$ \det\left(\frac{d}{dt} \rho(t)\right) = (-i)^n \det(e^{-iHt}[H, \rho(0)]e^{iHt}) = (-i)^n \det([H, \rho(0)]), $$ para que el determinante de la derivada sea una constante no nula. Así, $\frac{d}{dt} \rho(t)$ está uniformemente acotado lejos de la matriz cero.
Un simple cálculo da como resultado $\frac{d^2}{dt^2}\rho(t)=(-i)^2e^{-iHt}[H,[H,\rho(0)]]e^{iHt}$ . Desde $\frac{d}{dt} \rho(t)$ está acotado lejos de cero y $\frac{d^2}{dt^2} \rho(t)$ está acotado, $\rho(t)$ no puede tener un límite. De hecho, puedes establecer un límite inferior a su "oscilación" (suponiendo que sea el tipo de oscilación que deseas).
La estimación de la oscilación: Supongamos que $f:\mathbb R\to\mathbb R^N$ es un $C^2$ para que $|f'|\geq a>0$ y $|f''|\leq A<\infty$ para algunas constantes $a$ y $A$ . (Esto se aplica en particular a su $\rho$ .) Por el teorema fundamental del cálculo $$ f(T+\tau)-f(T) = \tau f'(T)+\int_0^\tau\int_0^sf''(r)drds. $$ Así, para $\tau>0$ $$ |f(T+\tau)-f(T)| \geq \tau|f'(T)|-\int_0^\tau\int_0^s|f''(r)|drds \geq a\tau-\frac12A\tau^2. $$ Por lo tanto, $|f(T+\tau)-f(T)|$ tiene un límite por debajo uniformemente en $T$ si $\tau<2a/A$ . Podría tomar este comportamiento como una definición de oscilación sin fin.
