Cálculo de la integral de la espalda tirada $1$ -Forma.

Question

Tengo la función $F: S^1 \rightarrow S^1 \times S^1 \times S^1$ dado por $F(p) =(p,p,p)$ y una forma 1 $\omega = dt_1 + dt_2 + dt_3$ en $S^1$ .

Necesito hacer los cálculos explícitos de $\int_{F(S^1 )}\omega$ .

Sé que $F^{*}\omega = 3\,dt$ . Pero, ¿cómo puedo calcular la integral?

Answer 1

Sus primeros pensamientos son correctos. Para ser precisos, vamos a parametrizar $S^1\subseteq \mathbb{R}^2$ por $\theta(x)=(\cos x,\sin x)$ . Vamos a dar $S^1\times S^1\times S^1$ coordenadas en casi todos los puntos por $(t_1,t_2,t_3)$ parametrizado de forma análoga. Entonces, su mapa es $F(\theta)=(\theta,\theta,\theta)$ . Se deduce que el jacobiano de este mapa es $$\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}.$$ En consecuencia, el jacobiano del mapa dual sobre las formas es $$\begin{bmatrix} 1&1&1 \end{bmatrix}.$$ Así que, como usted predijo $F^*(\omega)=F^*(dt_1+dt_2+dt_3)=3 \, d\theta.$ Ahora, podemos utilizar la fórmula habitual de cambio de variables dos veces para completar el cálculo: $$\int_{F(S^1)}\omega=\int_{S^1}F^*(\omega) = \int_{S^1} 3 \, d\theta = \int_0^{2\pi}3 \| \theta'(x)\| \, dx=\int_0^{2\pi}3 \, dx=6\pi.$$ Nota: Se puede objetar el hecho de que mi parametrización no cubre la integral, pero se pierde un mero punto. La integral no se ve perturbada por la ausencia de un subconjunto de medida cero del colector y así hemos terminado.