Función de recuento de primos en intervalos grandes: dos preguntas/conjeturas

Question

Consideremos dos enteros positivos $2 < a < x$ . Las dos afirmaciones siguientes parecen desprenderse intuitivamente de la PNT, pero me pregunto si alguna de ellas ha sido probada o discutida. Aquí, $\pi(n)$ es la función de recuento de primos.

Conjetura 1: Para cualquier $x$ existe alguna $a_0$ de manera que si $a \geq a_0$ la siguiente desigualdad es siempre cierta:

$$\tag{1} \pi(x+a) - \pi(x) \leq \pi(x) - \pi(x-a)$$

En términos más sencillos, consideremos dos intervalos de longitud $a$ a cada lado de $x$ . Esta conjetura sugiere que el intervalo anterior (que contiene números más pequeños) contiene más números primos que el intervalo posterior (que contiene números más grandes).

Se ha demostrado en los comentarios que es trivialmente cierto pero se deja para el contexto: Por cada $a$ hay algo lo suficientemente grande $x$ tal que la siguiente desigualdad es siempre cierta:

$$\tag{2} \frac{\pi(x) - \pi(a)}{x-a} \leq \frac{\pi(a)}{a}$$

En este caso, la pregunta es sobre la densidad de los primos en los dos intervalos. ¿Son los primos más densos por debajo de $a$ que en el caso anterior $a$ ?

(La desigualdad se puede escribir como $\frac{\pi(x)}{x} < \frac{\pi(a)}{a}$ lo que es cierto para cualquier $a$ y $x$ con $a < x$ a través de la PNT).

Podemos considerar un ejemplo extremo que se aplica a ambas afirmaciones. Si establecemos $x = a$ en la conjetura (1), o $x = 2a$ en la conjetura (2), ambas conjeturas simplemente preguntan si hay más (o iguales) primos entre $0$ y $n$ que entre $n$ y $2n$ . Sabemos que esto es cierto para $n > 2$ . Sin embargo, fuera del caso extremo, la PNT sugeriría que los intervalos de igual longitud deberían tener más primos si comienzan en un valor más bajo, y que la densidad de primos disminuye a medida que $n$ aumenta. También sospecho que si $a$ es muy pequeño, o en la conjetura (2) si $a$ está cerca de $x$ que estas fallarían.

Parece que estas conjeturas deben de haber surgido en algún momento, pero me pregunto si se han demostrado. No lo sé. piense en son sólo casos especiales de la segunda conjetura de Hardy-Littlewood, pero también soy muy aficionado. ¿Alguien sabe de pruebas/desafíos/discusiones de estos?

Edición: Replanteamiento de la conjetura 1, Nota sobre la conjetura 2 ya que es aún más trivial de lo que pensaba podría ser.

Answer 1

Para cualquier $a \geq 2$ Dejemos que $ x = (a+2)! +a +2$ y como no hay ningún primo en el intervalo $ [(a+2)!+2,(a+2)!+a+2]$ tenemos que $ \pi(x) = \pi(x-a)$ y así $ \pi(x)-\pi(x-a)=0$

Ahora bien, como $\pi(y)$ es una función no decreciente tenemos que $\pi(x+a)-\pi(x) \geq 0$ si tenemos $ \pi(x+a)-\pi(x)>0$ si no, hemos terminado $ \pi(x+a)-\pi(x) = 0$ Ahora dejemos que $x_{new} = x_{old}+a$ y así $ \pi(x_{new})-\pi(x_{new}-a) = \pi(x_{old}+a)-\pi(x_{old}+a-a) = \pi(x+a)-\pi(x) = 0$ (Nuestra suposición) y así $ \pi(x_{new})-\pi(x_{new}-a)=0$ y repetimos hasta que $\pi(x_{new}+a)-\pi(x_{new})>0$ (Garantizado por la infinitud de los primos).

Lo que implica que $ \pi(x+a)-\pi(x) > \pi(x)-\pi(x-a)$ se mantiene infinitas veces.

Con un pequeño ajuste del argumento anterior obtenemos que $ \pi(x+a)-\pi(x) < \pi(x)-\pi(x-a)$ se mantiene infinitas veces.

Así que la primera conjetura para cualquier $a\geq 2$ se mantiene infinitas veces y se viola para infinitas veces para diferentes secuencias de $x$ como $ x \to \infty$ .