Mostrar que el núcleo de un operador lineal es invariante bajo otro

Question

Dejemos que $S,T:V \rightarrow V$ sean operadores lineales tales que $ST=TS$ . Demuestre que si $\lambda$ es un valor propio de T, entonces Ker $(T-\lambda{I})^{k}$ , $k\in{\mathbb{Z}^{+}}$ es invariable bajo $S$ .

Answer 1

$S$ se desplaza con $T-\lambda I$ Por lo tanto, con $(T-\lambda I)^k$ . Por lo tanto, si $v\in \ker((T-\lambda I)^k)$ entonces $$ (T-\lambda I)^kSv=S(T-\lambda I)^kv=0 $$ así que $Sv\in \ker((T-\lambda I)^k)$ también.