La intersección finita de conjuntos no vacíos no es vacía (teorema de Poincaré-Miranda)

Question

Estoy tratando de entender una prueba del Teorema de Poincaré-Miranda dado en este artículo . Así, el teorema afirma que si tenemos un mapa continuo $f = (f_1, \ldots, f_n) : I^n \rightarrow {\rm I\!R}^n$ donde $I^n$ es un $n$ -cubo de dimensiones $[-1, 1]^n$ que satisface la siguiente condición: $$ f_i(x_1, \ldots, x_{i-1}, -1, x_{i+1}, \ldots, n) \leq 0 \\ f_i(x_1, \ldots, x_{i-1}, 1, x_{i+1}, \ldots, n) \geq 0 $$ para cada $i = 1, \ldots, n$ existe un punto $c \in I^n$ tal que $f(c) = 0$ .

Para demostrar el teorema los autores definieron los conjuntos $$ H_i^- := f_i^{-1}(- \infty , 0] \\ H_i^+ := f_i^{-1}[0, \infty) $$ Luego dicen que "utilizando un argumento de compacidad inferimos que la intersección $$ H := \bigcap \{ H_i^- \cap H_i^+ : i=1, \ldots, n\} $$ no está vacío".

Veo que cada $H_i^-$ y $H_i^+$ no está vacía como se deduce de las proposiciones, pero ¿por qué son $H_i^- \cap H_i^+$ no vacío y por qué es $H$ ¿No está vacío?

Además, si $H$ no está vacía, es obvio que para cada $x \in H$ lo siguiente $f(x) = 0$ así que encontramos el cero. ¿Por qué la prueba no termina aquí?

Gracias a quien pueda ayudarme a entender.

Answer 1

Sus pruebas están dispuestas al revés y son realmente confusas. Su prueba general es que pueden demostrar que hay un impar (y por lo tanto al menos 1) de simplicidades de cada diámetro dado que intersecan ambos $H_i^{-}$ y $H_i^{+}$ para todos $i$ . Entonces efectivamente agitan sus manos y dicen que eso es suficiente para probar que $H$ es no vacía por un argumento de compacidad no declarado antes de volver a demostrar la existencia de tales símiles.

Esta es una forma de mostrar la parte de la compacidad. Sea $S_k$ sea un simplex con diámetro $1/k$ que se cruzan con $H_i^-$ y $H_i^+$ para todos $i$ . Entonces, para todos los $k$ existen $a_k$ en $S_k \cap H_i^-$ y $b_k$ en $S_k \cap H_i^+$ para todo i. Entonces, por compacidad, existe alguna subsecuencia convergente de la $a_k$ . Que esa subsecuencia sea $a_{k_i}$ y que su límite sea $a$ . Tenga en cuenta que $a\in H_i^-$ para todos $i$ ya que están cerradas. Como el diámetro de $S_{k_i}$ es $1/k_i$ la distancia $d(a_{k_i},b_{k_i})<1/k_i$ es 0, por lo que $a=\lim a_{k_i}=\lim b_{k_i}$ . Desde $b_{k_i}$ están en el conjunto cerrado $H_i^+$ para todos $i$ el límite $a$ está en $H_i^+$ para todos $i$ Así que $a\in H$ .