Baby Rudin - Teorema 1.21 desigualdad

Question

Citando Principios del Análisis Matemático (3ª Ed.) de Walter Rudin, página 10:

1.21 Teorema . Por cada real $x > 0$ y cada número entero $n > 0$ hay uno y sólo un real positivo $y$ tal que $y^n = x$ .

Prueba. Que hay como máximo una $y$ está claro, ya que $0 < y_1 < y_2$ implica $y_1^n < y_2^n$ . Sea $E$ sea el conjunto que contiene todos los números reales positivos $t$ tal que $t^n < x$ . Si $t = x/(1 + x)$ entonces $0 \leq t < 1$ . Por lo tanto, $t^n \leq t < x$ . Así, $t \in E$ y $E$ no está vacío. $\quad$ [se omite el resto de la prueba]

No sé dónde está el $\leq$ viene el signo, dado que $x > 0$ y $t$ es positivo.

Answer 1

$\le$ incluye la posibilidad $<$ Por lo tanto, no hay nada incorrecto en lo que está escrito, pero se podría precisar más poniendo $<$ como usted ha señalado.

Utilizando $\le$ frente a $<$ suele ser una cuestión de preferencia, ya que a menudo son equivalentes. Consideremos el habitual $\varepsilon$ , $\delta$ definición de límites:

$f(x)\to L$ como $x\to a$ si para cada $\varepsilon > 0$ Hay un poco de $\delta > 0$ tal que $|f(x)-L|<\varepsilon$ siempre que sea $x$ se elige de manera que $0<|x-a|<\delta$ .

Se consigue una definición equivalente si utilizamos $\le$ :

$f(x)\to L$ como $x\to a$ si para cada $\varepsilon > 0$ Hay un poco de $\delta > 0$ tal que $|f(x)-L|\le \varepsilon$ siempre que sea $x$ se elige de manera que $0<|x-a|<\delta$ .

Puede ser un buen ejercicio demostrar que las dos definiciones anteriores son equivalentes.