Primero, un comentario rápido: Soy un matemático, que ahora trabaja en algunos problemas procedentes de la física (en particular los modelos de Ising en cadenas cuasiperiódicas). Algunas cosas me parecen bastante misteriosas. Agradecería su ayuda.
En aras de la generalidad, consideremos el siguiente modelo de Ising en una cadena de $N$ nodos.
$$H_N = - \sum_{i = 1}^N J_i\sigma_i^{(x)}\sigma_{i+1}^{(x)} - \sum_{i = 1}^N\sigma_i^{(z)},$$
con $J_i$ según el nodo $i$ (no asumimos ningún orden en particular por razones de generalidad), y $\sigma_i^{(x),(z)}$ las matrices de Pauli. Por Jordan-Wigner, podemos considerar el correspondiente operador fermiónico dado por
$$\widehat{H}_N = \sum_{i,j}\left[c_i^{\dagger}A_{ij}c_j + \frac{1}{2}\left(c_i^{\dagger}B_{ij}c_j^{\dagger}+ H.c.\right)\right],$$
donde $c_i$ , $1\leq i \leq N$ son operadores fermiónicos anticonmutantes y $\left\{A_{ij}\right\},\left\{B_{ij}\right\}$ , $1\leq i, j \leq N$ son los elementos de las matrices elegidas adecuadamente $A, B$ que dependen de $\left\{J_i\right\}_{1\leq i \leq N}$ .
Utilizamos condiciones de contorno periódicas. Ahora podemos extender $\widehat{H}_N$ a una red de tamaño infinito, pegando la celda unitaria de tamaño $N$ infinitas veces. Llamemos a esta nueva extensión $\tilde{H}_N$ . Ahora las preguntas:
1) ¿Qué es $H.c.$ ?
2) Me interesa el límite termodinámico $N\rightarrow\infty$ . ¿Es obvio que la secuencia de operadores $\left\{\tilde{H}_N\right\}$ converge, digamos en topología de operador fuerte, a algún operador bien definido $\tilde{H}$ como $N\rightarrow\infty$ ?
Permítame motivar la segunda pregunta: Para una determinada secuencia $\left\{J_i\right\}$ construido de forma determinista con ciertas propiedades (las llamadas secuencia cuasi-periódica ), creo que puedo decir algo sobre lo que los físicos llaman el "espectro energético en el límite termodinámico". Me interesa saber si este espectro energético es el espectro (en el sentido funcional-analítico habitual) de algún operador $\tilde{H}$ .
Gracias por cualquier ayuda.
