¿Cómo empezar a estudiar matemáticas por cuenta propia?

Question

Soy consciente de que esta pregunta se ha formulado varias veces, pero tengo preguntas concretas, de ahí que vuelva a preguntar.

Empecé a apreciar la belleza de las matemáticas cuando glosé el Teorema Fundamental del Cálculo mientras realizaba un curso de Cálculo II. Cuanto más me encuentro con la literatura matemática, más me interesa aprenderla. Me gustaría añadir que disfruto estudiando por mi cuenta muchas asignaturas diferentes (Física, Química, Historia, etc.) y nunca me siento forzado. Es algo que se disfruta de verdad. Sin embargo, por mucho que me interesen las matemáticas, me resulta difícil motivarme para aprender leyendo libros. Supongo que, más que muchas otras materias, la escritura matemática es increíblemente densa.

Las respuestas típicas a esta pregunta suelen dar como resultado una lista de temas a estudiar, y tal vez una lista de libros para complementarla. Así que sé cuál debe ser mi punto de partida en este viaje. Dada mi formación, empezaría por aprender Cálculo con teoría. Después de leer varias preguntas similares, estos fueron los tres nombres que más escuché; Spivak , Apostol y Courant .

Spivak's La escritura fue, con mucho, la más agradable y pude adquirir un ejemplar de este libro de un amigo. Sin embargo, también me pareció que se omitía mucha información en cada capítulo y se esperaba que el lector rellenara los huecos para poder hacer los ejercicios. Esto es tan instructivo como que consume tiempo. Estoy dispuesto a invertir tiempo en el autoestudio, pero la relación entre la comprensión adicional del tema y el tiempo adicional dedicado a la comprensión no parece muy eficiente. Es sólo mi opinión. Puede que más adelante me decida a pasar por Spivak después de aprender más sobre las matemáticas.

Apostol's El libro me pareció muy interesante, y descubrí que quería seguir leyéndolo (encontré un avance del primer capítulo en Internet). Mucha gente dijo que de los tres Apostol era el más árido. Puede que sea cierto, pero a mí me pareció que tenía un buen equilibrio entre ser sucinto, explicar el tema de forma rigurosa y, al mismo tiempo, hacerlo intuitivo. Desgraciadamente, no pude encontrar a un amigo con un ejemplar de este libro, el libro es ridículamente caro y no había ninguna copia buena disponible en línea.

Courant es el que he intentado revisar más recientemente. Este fue el libro recomendado para estudiar Matemáticas Aplicadas y después de pasar por el primer capítulo puedo ver por qué. Personalmente, no me gustó mucho este libro por lo verboso que era. Lo que se tarda un párrafo entero se podría haber acortado a una o dos frases y me pareció una tarea pesada.

Así que mi lista de preguntas pasa a ser la siguiente:

1. ¿Cómo desarrollar y mantener la motivación para estudiar matemáticas por cuenta propia?
2. Si leyera un libro sobre Algoritmos, sería inmediatamente aplicable porque podría empezar a implementar ese Algoritmo en un lenguaje. La física es inmediatamente relevante ya que la física es una ciencia natural; puedo leer, hacer problemas de práctica e incluso crear simulaciones de física usando código. Pero, ¿qué enfoque debo adoptar para las matemáticas? Estaba pensando en hacerlo leyendo, haciendo problemas y repitiendo el proceso, pero creo que esto sólo me lleva a perder el interés en la asignatura.
3. Por último, ¿con qué libro debería empezar? Las alternativas a los libros que he mencionado serían geniales. Un cruce entre Spivak y Apostol sería la introducción perfecta al cálculo, creo.

Answer 1

Para este tipo de preguntas, siempre agradezco que se dé más de una respuesta. Intentaré dar una respuesta general y señalar dónde se considera cada pregunta a lo largo de lo que sigue.

(Algunos antecedentes/experiencia personal) Soy de un pueblo pequeño, pero me permitieron cursar estudios universitarios durante el instituto. Después del instituto quería ir a una universidad de alto nivel, pero no funcionó y continué mi educación en la universidad local. Esta educación era muy diferente de la educación universitaria privada y no quería perderla, así que empecé a estudiar por mi cuenta. Mi perspectiva ha cambiado mucho entre el momento en que empecé y el momento en que estoy escribiendo esto.

(1) Desarrollar la motivación para empezar a estudiar por cuenta propia es realmente la parte más difícil de todo el proceso. Pero parece que ya tienes la motivación, si no, ¿por qué ibas a pedir referencias sobre qué leer? Ya estás interesado en aprender y ese es el único aspecto que nadie puede enseñarte. ¿Cómo se coge un libro y se lee todos los días para aprender la materia? Bueno, esa es una historia completamente diferente. Como has dicho, los libros de matemáticas son increíblemente densos. Así que permíteme que te cuente algunas cosas que he aprendido por mí mismo y que te explique también.

i) Mantener un estilo de vida estable - Solía tener un horario de sueño extraño yendo al instituto, a la universidad, y me pagaban por jugar a los videojuegos. Algunas noches dormía dos horas, y al día siguiente me echaba una siesta y me despertaba a las 2 de la mañana después de haber dormido siete horas al mediodía. Pero nunca pude jugar bien de forma consistente con este horario; era difícil mantener la habilidad técnica con tanto cambio. Leer libros de texto de matemáticas es, por desgracia, una habilidad técnica. Es más difícil hacerlo cuando no eres constante.

ii) Variar lo que se lee - Esto puede ser desde el cambio de libros hasta el cambio de tema. Como mencionas, el texto de Spivak es estupendo pero no es un tratado; el libro de Apostol es más seco que el de Spivak pero supongo que más completo. A mí personalmente me gustan estos dos autores. Spivak suele hacer una exposición muy detallada de la información práctica; puede rehuir decir un resultado explícito de un campo más general si no pertenece al uso de esa información en un conocimiento práctico o en el resto del texto. Apostol tiende a cubrir un tema de forma muy completa en su obra con el uso de material que puede no ser de su interés. No sólo hay diferencias en el autor, que dependerán de tus gustos e intereses, sino que últimamente me he dado cuenta de que cuanto más abstracto es el material que estoy leyendo, más tensión tengo mentalmente. Tal vez pueda dedicar unos buenos 45 minutos a leer sobre espacios anillados localmente pero luego me empieza a doler la cabeza. (También es muy consistente, con material que requiere mucho esfuerzo para envolver mi cabeza. Una vez que me duele la cabeza, se pierde cualquier esperanza de entender más y esencialmente tengo que parar durante unas horas). Llegados a este punto, quizá sea más valioso hacer cálculos.

iii) Pregúntate por qué te interesa el tema - Esta puede ser una reflexión muy útil. Por ejemplo, si se trata de entender las matemáticas en la física más avanzada, tal vez sea útil dar paseos y pensar en cómo se relacionan las matemáticas con los objetos del mundo real que te rodean. Esto también puede impulsarte en una dirección que aumente tu motivación y tu autoestudio. Si es para aprender por derecho propio (lo cual es realmente genial) entonces realmente cualquier cosa es buena para estudiar pero, encontrarás algo más a tu gusto a medida que desarrolles más tus habilidades. Esto podría ser, como en mi experiencia, encontrar aversión en la teoría de la medida porque mirar el lenguaje es desagradable y muy técnico o disfrutar del álgebra porque es muy limpia. Ten en cuenta estas cuestiones, ya que son el mejor indicador de lo que deberías estudiar.

(2) Leer, hacer problemas, repetir probablemente no sea lo que más te guste. Hay una tonelada de pedagogía sobre cuál es la mejor manera de aprender y es un debate muy activo en la mayoría de los sistemas educativos. Después de leer tu post he revisado casi otros 15 posts de autoaprendizaje y preguntas suaves y todos ponen énfasis en hacer problemas. En el nivel de cálculo básico, la diferencia entre la teoría y los problemas es grande. Estoy bastante seguro de que hice cuatro cursos de cálculo sin aprender nada de teoría y me fue "muy bien" en todos ellos. Tal y como yo lo veo, el camino ya está allanado. Poner más énfasis en la teoría es un error porque entonces ¿qué problemas puedes resolver? Poner más énfasis en los problemas es un error porque entonces ¿qué sabes realmente? Así que yo recomendaría repasar la teoría y luego hacer los problemas que obliguen al cálculo. Una vez que te sientas cómodo con el cálculo, vuelve a buscar "¿cómo influye la teoría en el cálculo?" o "¿cómo describe el cálculo la teoría?". Por ejemplo, el teorema del valor intermedio es un teorema en sí mismo pero, ¿qué cálculos puedes hacer a partir del aprendizaje de este teorema? O bien, la integración se define explícitamente como un proceso de limitación de sumas, así que ¿por qué ignoramos inmediatamente la construcción de la integración cuando nos la enseñan? Yo aprendí "cómo integrar" años antes de aprender que estaba integrando.

El trabajo en los problemas también varía mucho en el libro de texto. Algunos libros utilizan ejercicios para desarrollar la teoría. Son buenos ejercicios porque te dan herramientas valiosas que puedes utilizar más adelante en el libro. Algunos ejercicios son simplemente ordenados y no son muy útiles para aprender la teoría, pero sí para entenderla. Estas preguntas debes omitirlas pero, debes encontrar tus propias preguntas interesantes en lugar de ellas y hacer todo lo posible por responderlas tú mismo (esto es muy difícil pero muy gratificante). Y como se ha mencionado anteriormente, algunos ejercicios son sólo para convertirse en ordenadores y, después de suficientes ejercicios de este tipo, es mejor dejarlos para los ordenadores.

Bueno, estoy evitando responder (3) porque creo que esto será algo que deberías intentar responder o espero que alguien más versado en la materia responda por mí. Además, suelo encontrar muchos tesoros en internet. Espero que esto ayude y con gusto responderé a cualquier otra pregunta.

Answer 2

No está tan detallado con la respuesta de Eoin, pero esto es lo que creo.

1. Coge un cuaderno y a medida que vayas leyendo, anota las definiciones y teoremas importantes, junto con las pruebas. Es más probable que recordar las cosas cuando las escribes.
2. Llegará un momento en el que te cueste entender una definición o una afirmación/prueba de un teorema. No te rindas. Todo el mundo pasa por esto en las matemáticas. Trata de "simular" o de venir con ejemplos de lo que quieren decir. Me recuerdo a mí mismo luchando por entender lo que el $\delta-\epsilon$ definición de un límite era. La forma en que me ayudé a entenderlo fue simulando un código informático que demostraba el enunciado. Mi código toma una función $f(x)$ , un punto de interés $a$ y limitar $L,$ y un fijo $\epsilon>0.$ En el código, establecí lo que creía que era el $\delta$ debe ser en términos del general $\epsilon.$ A continuación, generé un gran número de valores aleatorios de $x$ tal que $|x-a|< \delta,$ y comprobado para ver si $|f(x)-L|<\epsilon$ para cada uno de esos $x$ valores. El código devuelve True si todos esos valores cumplen la condición, y False si al menos uno de esos valores no lo hace. Haciendo esto repetidamente en diferentes funciones, es como llegué a entender y comprobar si mi $\delta-\epsilon$ pruebas eran correctas o no. Lo que quiero decir aquí es que te inventes ejemplos en la medida de lo posible para ver la idea en acción y, por supuesto, que los escribas. Esto te ayudará a entender y recordar las ideas más difíciles.
3. A veces los autores en las pruebas hacen algún tipo de declaración que sale de la nada. Pueden decir algo como $a \in A$ y no justificarlo. En un caso como este, proporcionar la justificación de por qué $a$ pertenece al conjunto $A$ mientras escribes la prueba.
4. Como se menciona en la respuesta de Eoin, haz los problemas que se dan en el libro al final de cada capítulo. Al hacerlo, podrás interiorizar realmente las ideas.
5. Practicar la escritura/comunicación de las matemáticas de forma clara y concisa. Para tener éxito en un campo riguroso como éste (o en cualquier campo), debes desarrollar la habilidad crucial de explicar tu razonamiento (o los conceptos en general) a otras personas. El profesor Francis Su tiene una buena guía centrada en cómo escribir bien. https://www.math.hmc.edu/~su/math131/good-math-writing.pdf