Gas ideal con pared pegajosa

Question

Una colección de $N$ partículas puntuales se mantiene dentro de una caja cúbica de lado $L$ . Las paredes de la caja son pegajoso . Esto significa que cuando una partícula colisiona con una pared, permanece adherida durante un corto periodo de tiempo $\tau$ y luego se libera. Cuando se suelta, sale con la misma velocidad que tendría si la colisión hubiera sido elástica en primer lugar.

¿Cuál es la distribución espacial de las partículas? Para simplificar, se puede suponer que sólo una de las paredes es pegajosa, y el resto son normales. En este caso sólo hay que preocuparse de un gradiente.

Si no hubiera una pared pegajosa, la distribución sería uniforme. Tengo la intuición de que la presencia de la pared pegajosa aumentará la concentración de partículas cerca de la pared. Piensa en la ergodicidad: como las partículas pasan más tiempo cerca de la pared ( $\tau$ unidades adicionales), eso significa que la probabilidad de encontrar partículas cerca de la pared también debería ser mayor. Pero no estoy seguro de cómo probar esto, ni de cómo encontrar la distribución cuantitativa.

Añadido: ¿Cuál es la distribución de la velocidad de las partículas en el grueso de la caja? ¿Y en la pared?

Answer 1

Consideremos el conjunto de partículas con una velocidad $v_i$ hacia la pared "pegajosa".

A continuación, sustituya la pared pegajosa por una pared normal perfectamente elástica, pero sitúela a una distancia ${(v_1 \times \tau)/}{2}$ detrás de la ubicación de la pared pegajosa. Obsérvese que la ubicación de esta pared es función de la velocidad considerada

Este nuevo vaso ampliado imitará exactamente el comportamiento del de paredes pegajosas, al menos para las partículas con velocidad normal $v_i$ .

La caja adhesiva tiene volumen $L^3$ la caja mejorada tiene volumen $L^2\times (L+{(v_1 \times \tau)/}{2})$

¿Puedes ver cómo la distribución de partículas con diferentes velocidades se verá afectada por la pared pegajosa?

Editar:

Todas las partículas estarán distribuidas uniformemente espacialmente .

Sin embargo, la distribución de la energía estará sesgada.

La presencia de vuelo libre las partículas con una determinada energía/velocidad se verán disminuidas. Una fracción de ellas puede visualizarse como en el espacio extra; la fracción en el real, $L^3$ espacio es sólo la relación entre ese volumen real y el volumen que incluye la pared desplazada. Y esa proporción cambia para cada velocidad diferente.

Considere: una partícula rápida y de alta energía pasará $\tau$ pegado a la pared, tal vez $0.001 \tau$ en un viaje de ida y vuelta por la caja, otro $\tau$ atascado, etc. Casi nunca forma parte de la distribución gratuita.

Pero una partícula lenta podría pasar $\tau$ pegado a la pared; luego pasa $1000 \tau$ a la deriva por la longitud y la espalda, otro $\tau$ atascado... Casi siempre parte de la población libre.

Answer 2

Creo que la cuestión es similar al equilibrio de fases. Supongamos que se considera el equilibrio entre un líquido y su vapor. Cuando una molécula de vapor "choca" con el líquido, no rebota, sino que se convierte en parte del líquido y pasa algún tiempo dentro de él, antes de que, por pura casualidad, sea expulsada de nuevo. Por supuesto, el tiempo que pasa una molécula dentro del líquido no es fijo, sino una variable estocástica.

Mayor tiempo de permanencia $\tau$ es equivalente a la situación de líquido de baja presión de vapor. En otras palabras, el aumento de $\tau$ resultará en una fracción menor de moléculas moviéndose libremente dentro de la caja y el resto de ellas pegadas a las paredes cuando el sistema alcance el estado estacionario. La concentración del número de moléculas será una función escalonada, y el cambio se producirá en la pared pegada.

En su pregunta la molécula es expulsada de la pared pegajosa como si se reflejara (después de un tiempo de retraso $\tau$ ). En el caso del sistema líquido-vapor, la molécula que escapa del líquido probablemente no recuerda su velocidad cuando fue capturada por última vez por el líquido. Pero si estadísticamente la distribución de la velocidad sigue siendo la misma para las moléculas expulsadas de la pared pegajosa y para las moléculas que chocan con la pared pegajosa, la distribución de la velocidad resultante dentro de la caja (excluyendo las paredes) debe ser idéntica a la de la ausencia de paredes pegajosas.