En la parte de la solución de mi libro se destaca que sólo hay una solución. Supongo que puedo demostrarlo con el teorema de Rolle.
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Juan
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Por La regla de los signos de Descartes vemos que su polinomio $3x^5+15x-8$ tiene un cambio de signo en sus coeficientes, por lo que tiene exactamente una raíz real positiva. Por la misma regla, cuando sustituimos $x$ con $-x$ obtenemos un polinomio sin cambios de signo en sus coeficientes, por lo que el polinomio original no tiene raíces negativas.
Claramente, el cero no es una raíz, por lo que terminamos con exactamente una raíz real del polinomio, y exactamente una solución a su ecuación.
Esta respuesta no utiliza el teorema de Rolle, pero es más fácil.
Tiene una raíz positiva y ninguna negativa debido a la ley de signos de Descartes. La Ley del Signo de Descartes dice que hay que contar el número de cambios de signo de positivo a negativo o de negativo a positivo y ese es el número de raíces reales. También si obtienes un número mayor que 2. Entonces puedes tener ese número o ese número menos dos. Por ejemplo, si sus eran 5 cambios de signo, podría ser 5, 3, o 1 (sólo restó 2). Espero que te sirva de ayuda.
mfl
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Ciertamente, puedes hacerlo. Supongamos que existe $a<b$ tal que $f(a)=f(b)=0,$ donde $f(x)=3x^5+15x-8.$ Entonces, debido al teorema de Rolle, existe $c\in (a,b)$ tal que $f'(c)=0.$ Pero $f'(c)=15c^4+15>0,\forall c\in \mathbb{R}.$ Esto significa que no puede tener dos soluciones. Por otro lado, $f(0)=-8, f(1)=10$ y la continuidad de $f$ implica que tiene al menos una solución.
