Función Cantor

Question

Hola tengo que hacer un ejercicio pero estoy atascado en algunas preguntas. El enunciado es el siguiente :

Consideremos la función de Cantor f: [0,1] -> [0,1] Con $f(x) = \sum_{j=1}^{N(x)} \frac{1}{2^j} 1(x_j \ge 1)$ .

a) Calcula la derivada f'(x) de la función f para cada punto x $\in$ (0,1) \N - K que es un conjunto de Cantor.

b) Para x = 2/3 calcula los dos límites unilaterales $Lim_{h->0^{+}} \frac{f(2/3 + h)-f(2/3)}{h}$ y $Lim_{h->0^{-}} \frac{f(2/3 + h)-f(2/3)}{h}$ .

Defina la derivada simétrica de f en x por SD(f)(x) = $Lim_{h->0} \frac{f(x + h)-f(x-h)}{2h}$ .

c) Para cada x $\in$ (0,1) \N - K calcula SD(f)(x) (si existe).

Para la pregunta a) he escrito que f'(x) = $0$ Para todo x $\in [0,1]\K$ pero para el resto no puedo hacer .... ¿Alguien puede ayudarme por favor?

Answer 1

$f'(x)$ no existe cuando $x$ pertenece al conjunto de Cantor $K.$ Dejemos que $x=\sum_{n=1}^{\infty} 2x_n3^{-n}$ donde cada $x_n\in\{0,1\}.$ Entonces $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x_n2^{-n}.$ Para cualquier $\epsilon >0$ tenemos $$\sup\left\{\left|\frac {f(x)-f(y)}{x-y}\right|: y\in [0,1]\cap (x-\epsilon,x+\epsilon)\right\}=\infty.$$ Prueba: Dado cualquier $r>0,$ tomar $n_1\in \Bbb N$ lo suficientemente grande como para que $2\cdot 3^{-n_1}<\epsilon$ y $\frac {1}{2}\cdot (3/2)^{n_1}>r.$ Dejemos que $y_n=x_n$ cuando $n\ne n_1$ y que $y_{n_1}=1-x_{n_1}.$ Dejemos que $y=\sum_{n=1}^{\infty}2y_n3^{-n}.$

Entonces $y\in K$ y $|y-x|=2\cdot 3^{-n_1}<\epsilon,$ mientras que $|f(x)-f(y)=2^{-n_1}.$ Así que $$\left|\frac {f(x)-f(y)}{x-y}\right|=\frac {1}{2}(3/2)^{n_1}>r.$$