Demostrar que los puntos medios son colineales

Question

Dejemos que $ABCD$ sea un cuadrilátero convexo y sea $E$ y $F$ sean los puntos de intersección de las líneas $AB, CD$ y $AD,BC$ respectivamente. Demostrar que los puntos medios de los segmentos $AC$ , $BD$ y $EF$ son colineales.

He intentado resolver esta cuestión

asumiendo que los bordes opuestos no son paralelos Sean G, H e I los puntos medios de BD, AC y EF, respectivamente. Por lo tanto, tenemos $[AGB]+[CGD]=\frac{1}{2}([ABD]+[BCD])=\frac{1}{2}[ABCD]$ la similitud, $[AHB]+[CHD]=\frac{1}{2}([ABC]+[ACD])=\frac{1}{2}[ABCD]$ Sólo puedo hacer hasta aquí. No puedo probar $G,H,I$ colineal. ¿Podría ayudarme a continuar mis trabajos? Gracias :D

Answer 1

Sugerencia: llame a $\overrightarrow{AB} = \vec x$ y $\overrightarrow{AD} = \vec y$ . Encuentre expresiones para $\overrightarrow{AG}$ , $\overrightarrow{AH}$ y $\overrightarrow{AI}$ como combinaciones lineales de $\vec x$ y $\vec y$ . Deberá utilizar toda la geometría del problema, por ejemplo, escribiendo $\overrightarrow{AE} = s\overrightarrow{AB}$ para algún escalar $s$ etc.