Supongamos una estadística de prueba $\frac{MSS(X)}{MSS(Y)}$ , donde $MSS$ denota la suma media de los cuadrados, se utilizará para probar la significación del factor $X$ . ¿Necesitamos la suposición $$\mathbb E[MSS(X)]=\mathbb E[MSS(Y)]$$ ¿se puede satisfacer? ¿Por qué?
Por lo que sé, si la suposición es cierta, entonces la estadística de prueba sigue la distribución F.
¿Es el único caso? ¿Hay alguna explicación detallada?
Entiendo que por "suma media de los cuadrados" te refieres a la suma de los cuadrados dividida por los grados de libertad. A veces se llaman cuadrados medios; no creo haber oído antes "suma media de cuadrados".
La distribución F suele caracterizarse como la distribución de $$ \frac{\chi^2_n/n}{\chi^2_m/m} $$ donde las dos variables aleatorias chi-cuadrado tienen sus respectivos grados de libertad $n$ y $m$ y son independientes y son efectivamente variables aleatorias chi-cuadrado.
Si realmente son variables aleatorias chi-cuadrado con el número especificado de grados de libertad, y son independientes, entonces el cociente anterior tiene una distribución F.
Y si realmente son variables aleatorias chi-cuadrado con el número de grados de libertad especificado, entonces los valores esperados del numerador y del denominador son iguales a $1$ .
Pero ciertamente no es cierto que cada vez que se divide una variable aleatoria con valor esperado $1$ por otra variable aleatoria con valor esperado $1$ entonces el cociente tiene una distribución F.
Quizás la situación más conocida en la que surge una distribución F es la siguiente: $$ \overbrace{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{m_i} (Y_{ij} - \bar Y_{\bullet\bullet})^2}^{\text{total sum of squares}} = \overbrace{\sum_{i=1}^n m_i(\bar Y_{i\bullet} - \bar Y)^2}^{\text{between-group sum of squares}} + \overbrace{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar Y_{i\bullet})^2}^{\text{within-group sum of squares}}. $$ donde $$ \bar Y_{\bullet\bullet} = \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{m_i} Y_{ij}}{\sum_{i=1}^n(m_i-1)} \text{is the grand mean and } \bar Y_{i\bullet} = \frac{\sum_{j=1}^{n_i} Y_{ij} }{m_i} \text{ are the group means}. $$ Con los supuestos habituales de normalidad, independencia y homocedasticidad, y asumiendo la hipótesis nula de que no hay diferencias entre los grupos de la población de la que se tomó la muestra, el siguiente estadístico tiene una distribución F: $$ \frac{\text{between-group sum of squares}/(n-1)}{\text{within-group sum of squares}/\sum_{i=1}^n(m_i-1)}. $$
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