Sobre la definición del modelo

Question

En la teoría de modelos, la definición de un modelo es un conjunto. ¿Puede ser una clase propia?

ZFC tiene un modelo y tal vez algunos modelos es una clase adecuada. La definición de un modelo necesita incluir una clase propia.

¿Es correcto? Me gustaría pedirle su opinión.

Answer 1

Un modelo es, por definición, un conjunto. Así que no, los "modelos de clase" no son modelos en el sentido habitual. Muchas teorías, además de la ZFC, también tienen "modelos de clase", pero eso es algo diferente, y realmente no se puede estudiar bien sin trabajar en una teoría de clases como la NBG o la MK.

Answer 2

Normalmente se entiende que un modelo es un conjunto, pero no es raro que se consideren modelos de clase propios. A veces lo hacen de manera informal, sin una justificación rigurosa. Una forma de formalizarlo es en la teoría de conjuntos de Godel-Bernays, donde las clases propias existen realmente.

ZFC tiene modelos si es consistente (y casi todo el mundo que se preocupa cree que ZFC es consistente). Y, como ZFC es una teoría de primer orden, si es consistente entonces tiene modelos de conjuntos, de hecho tiene modelos contables. La gente a veces considera también modelos de tamaño de clase propios de ZFC -- que pueden ser formalizados de varias maneras. Una forma es usar Godel Bernays, por supuesto. Una forma más común es usar "clases definibles", como se describe en diferencia entre clase, conjunto, familia y colección y a un nivel superior en diferencia entre clase, conjunto, familia y colección

Answer 3

Asumir la existencia de un modelo de tamaño de clase de una teoría es muy común. A veces, los teóricos del modelo quieren hablar de cómo funcionan los modelos saturados "grandes" sobre un conjunto "pequeño" de parámetros. Existen nociones formales que definen "grande" y "pequeño" cuando se habla de modelos de tamaño de conjunto (por ejemplo, la noción de Hodges $\kappa-$ bigness). Sin embargo, a veces estos detalles entorpecen el panorama general. Así, no es raro que la gente asuma que existe un modelo de tamaño de clase $\mathbb{M}$ (a menudo referido como un modelo monstruoso - pero este término también puede significar simplemente "suficientemente grande") donde "grande" significa "un subconjunto de tamaño de clase de $\mathbb{M}$ " y "pequeño" significa "un subconjunto del tamaño de un conjunto $\mathbb{M}$ ".