Probar que un número no divide a otro y probar $lcm$ utilizando la definición

Question

Digamos que tengo dos enteros $a,b$ y quiero demostrar que $a\not \mid b$ o $ak\neq b$ ¿tengo que tomar dos adyacentes? $k$ s tal que $ak_1 < b$ y $ak_2> b$ ? ¿Hay otra manera?

Otra pregunta, digamos que quiero probar $lcm(9,15)=45$ utilizando $lcm$ la condición de que ambos dividan $45$ es fácil, pero para demostrar que no hay $y$ tal que $y<45$ y $y$ es divisible por ambos $9,15$ ¿tengo que demostrar que para cualquier otro múltiplo de $9,15$ que es menor que $45$ no es divisible por $9$ o $15$ ?

es decir $9,18,27,36$ no son divisibles por $15$ y $15,30$ no son divisibles por $9$ .

Answer 1

Para demostrar que $a$ no divide $b$ simplemente calcule $b:a$ con el resto y demostrar que el resto es $\ne 0$ .

Para demostrar que $lcm(a,b)=c$ Primero hay que demostrar que $a$ y $b$ dividir $c$ como usted mencionó.

Supongamos, $d$ es el $lcm$ . Sea $c=ed+f$ con $0\le f < d$ . Desde $c$ y $d$ son comunes multiplicadores, $f=c-ed$ también es un multiplicador común. Si $f$ sería $\ne 0$ , $d$ sería no es el mínimo común multiplicador.

Así que podemos concluir $f=0$ . Así que, $d$ debe ser un divisor de $c$ .

Así que sólo hay que comprobar los divisores de $c$ si son multiplicadores comunes.