Dejemos que $f, g : [a,b] \to \mathbb R$ sean dos funciones continuas tales que $g(x) \le f(x)$ para todos $x \in [a, b]$

Question

Dejemos que $f, g : [a,b] \to \mathbb R$ sean dos funciones continuas tales que $g(x) \le f(x)$ para todos $x \in [a, b]$ . Definir $$\phi(x) = \begin{cases} f(x), & x \in \mathbb Q \cap [a,b] \\ g(x), & x \in [a,b] \setminus \mathbb Q \end{cases}$$ demostrar que $$\overline{\int_a^b} \phi = \int_a^b f \\{\text{and}}\\ \underline{\int_a^b} \phi = \int_a^b g $$

¿Qué he conseguido hacer hasta ahora?

Caso 1: $g(x)=f(x)$ entonces $$\overline{\int_a^b} \phi = \int_a^b f = \underline{\int_a^b} \phi = \int_a^b g $$

Caso 2: $g(x) \lt f(x)$ , dejemos que $P: a=t_0 \lt ... \lt t_n = b$

$ m_i = inf f\{ f(x): x \in [t_{i-1},t_i]\}$

$M_i = sup g\{ g(x): x \in [t_{i-1},t_i]\}$

entonces

$S(g,P) = \sum_{i=1}^n M_i (t_i - t_{i-1}) = sup g \sum_{i=1}^n (t_i - t_{i-1}) = sup g (b-a) $

$s(f,P) = \sum_{i=1}^n m_i (t_i - t_{i-1}) = inf f \sum_{i=1}^n (t_i - t_{i-1}) = inf f (b-a)$

$\overline{\int_a^b} \phi = inf f (b-a)$

$\underline{\int_a^b} \phi = sup g (b-a)$

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Para cualquier partición $P=[t_0,t_1,\dots,t_n]$ de $[a,b]$ porque $\mathbb{Q}$ es un subconjunto denso de $\mathbb{R}$ puede elegir $s_1,s_2,\dots,s_n \in \mathbb{Q}$ tal que para todo $k$ $$s_k \in [t_k,t_{k-1}]$$ Así que según la definición de integral superior de Riemann $$\overline{\int_{a}^b} \phi \ge \sum_{k=1}^n \phi(s_k)( t_k-t_{k-1})\stackrel{ s_i \in \mathbb{Q}}{=}\sum_{k=1}^n f(s_k)( t_k-t_{k-1})$$ para toda elección de $P$ y $(s_i)$ .
Además, porque $f$ es continua, por lo que es una integral de Riemann en $[a,b]$ . Por lo tanto, como la norma (la malla) de $P$ converge a $0$ $$\sum_{k=1}^n f(s_k)( t_k-t_{k-1}) \longrightarrow \int_{a}^b f$$ Así, $$\overline{\int_{a}^b} \phi \ge \int_{a}^b f$$ Por otro lado, $\phi \le f$ Por lo tanto $$\overline{\int_{a}^b}\phi \le \overline{\int_{a}^b } f = \int_{a}^b f$$ Así, $$\overline{\int_{a}^b} \phi = \int_{a}^b f$$

Se puede argumentar lo mismo con la otra identidad.