Imagen de un círculo bajo un mapa conforme $1/z$

Question

La imagen de un círculo bajo el mapa conforme $1/z$ debería ser un círculo, pero ¿cómo demostrarlo (o cómo encontrar la relación entre los dos círculos)?

$z = x + iy = d + a\exp(i\theta)$ , donde $a$ es el radio del círculo y $d$ es un número real, representa un círculo de radio $a$ desplazado a lo largo del eje real.

Ahora $w = u + iv = 1/z$ ¿cómo encontrar la posición central y el radio de la circunferencia transformada?

Sólo escribo $w = 1/(d + a\exp(i\theta))$ y después de un poco de álgebra obtengo $$ u = \frac{d + a\cos(\theta)}{d^2 + a^2 + 2d\cos(\theta)}\quad\text{and}\quad v = -\frac{a\cos(\theta)}{d^2 + a^2 + 2d\cos(\theta)}, $$ pero luego no sé cómo simplificarlo y llevarlo a la forma que parece un círculo.

Answer 1

Los puntos reales $d \pm a$ se encuentran en un diámetro de su círculo. Los puntos de la imagen $1/(d \pm a)$ se encuentran en un diámetro del círculo de la imagen, por lo que el círculo de la imagen tiene centro $$ \frac{1}{2}\left[\frac{1}{d - a} + \frac{1}{d + a}\right] = \frac{d}{d^{2} - a^{2}} $$ y el radio $$ \frac{1}{2}\left|\frac{1}{d - a} - \frac{1}{d + a}\right| = \frac{a}{|d^{2} - a^{2}|}. $$

Como alternativa, a partir de $$ (x - d)^{2} + y^{2} = a^{2} $$ y sustituyendo $$ x = \frac{u}{u^{2} + v^{2}},\qquad y = -\frac{v}{u^{2} + v^{2}} $$ funciona.