Representación de un operador lineal acotado en forma de matriz

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $M$ sea un subespacio de $X$ . Entonces sabemos $X= M\oplus N$ donde $N$ es un subespacio de $X$ . Sea $T:X \to X$ sea un operador lineal acotado.

Quiero demostrar que

$ T= \begin{pmatrix} A&B\\ C&D\\ \end{pmatrix} $

donde

$A:M \to M$

$B: M \to N$

$C:N \to M$

$D:N \to N$

son operadores lineales acotados.

Answer 1

Esta pregunta es ambigua. La notación matricial no tiene sentido para un operador en un espacio general a menos que se defina cómo evaluarlo. Proporcionaré tal interpretación, y demostraré que la afirmación es cierta en los espacios de Hilbert. Empezamos con la definición.

$\textbf{Definition:}$ Supongamos que

$$X= M \oplus N,$$ donde $X$ es un espacio de Hilbert y $M$ y $N$ son subespacios cerrados de $X.$ Dejemos que $A:M\to M,\; B: N\to M,\; C: M\to N, \; D: N\to N$ sean operadores lineales acotados. El operador $T$ , denotado por

$$T=\begin{bmatrix} A &B \\ C & D \\ \end{bmatrix} $$ se define como $$Tz= \left(A(P^M z)+B(P^N z)\right)+ \left(C(P^M z)+D(P^N z)\right),$$ donde $P^M$ y $P^N$ denotan los operadores de proyección sobre $M$ y $N$ respectivamente, es decir, si $z= x+y,\; x\in M,\; y\in N,$ entonces

$$P^Mz=x,\; P^N z=y.$$ Nótese que esta definición está intrínsecamente relacionada con la representación matricial, ya que $z= P^Mz+P^Nz,$ para poder "representar $z$ como $$z= \begin{bmatrix} P^M z \\ P^N z\\ \end{bmatrix}$$ y tenemos la analogía con la multiplicación de matrices.

Ahora bien, es bien sabido que en los espacios de Hilbert, si $S$ es un subespacio cerrado, entonces el operador de proyección $P^S$ es continua. Con esto en mente, demostramos lo siguiente:

$\textbf{Statement:}$ Si $X$ es un espacio de Hilbert y $X=M\oplus N,$ con $M$ y $N$ subespacios cerrados, y $T:X\to X$ un operador lineal continuo. Entonces $T$ admite una representación matricial de la forma $$T=\begin{bmatrix} A &B \\ C & D \\ \end{bmatrix}. $$ $\textbf{Proof:}$ Poner

$$A= (P^M \circ T)|_M,\;B= (P^M \circ T)|_N,\;C= (P^N \circ T)|_M,\;D= (P^N \circ T)|_N.$$ Aquí $U|_S$ denota la restricción del operador $U$ al subespacio $S.$ Por construcción, estos operadores son continuos. Consideremos ahora el operador $$T' = \begin{bmatrix} A &B \\ C & D \\ \end{bmatrix}.$$ Afirmamos que $T=T'.$ Para ver esto, elija cualquier $z \in X.$ Entonces

$$T'z = \left(A(P^M z)+B(P^N z)\right)+ \left(C(P^M z)+D(P^N z)\right)= $$ $$\left(P^M(T(P^M z))+P^M(T(P^N z))\right)+ \left(P^N(T(P^M z))+P^N(T(P^N z))\right)$$

$$= P^M(T(P^M z +P^N z ) ) +P^N(T(P^M z +P^N z ) )$$

$$= P^M(Tz ) +P^N(Tz ) = Tz,$$ como se desee.