Identificación de variables aleatorias a partir de funciones generadoras de momentos y uso de funciones características

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ tienen funciones generadoras de momentos $M_X(t),M_Y(t)$ respectivamente y $U$ tiene una distribución uniforme en $[0,1]$ .

¿Cuál es una variable aleatoria que es una función de X,Y y U tal que su función generadora de momentos es 1) $\int_0^1 M_X(tu) \, du$ y 2) $\frac{M_X(t)+M_Y(t)}2$ ?

Conozco las propiedades lineales de las funciones generadoras de momentos, como $M_U(t) = \int_0^1 e^{ut}f(u)\,du$ y las propiedades $M_{X+Y}(t) = M_X(t)M_Y(t)$ así como $M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)$ pero no sé cómo se aplicarían otras propiedades. ¿El producto de UV daría una función generadora de momentos correspondiente a $\int_0^1 M_X(tu) \, du$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que $W=\begin{cases} 1 & \text{with probability } 1/2, \\ 0 & \text{with probability } 1/2, \end{cases}$
$\vphantom{\dfrac11}$ y $Z=WX + (1-W)Y,$ para que $Z=X$ si $W=1$ y $Z=Y$ si $W=0.$ Entonces $$ M_Z(t) = \operatorname{E}(e^{tZ}) = \operatorname{E}(\operatorname{E}( e^{tZ}\mid W)). $$ Obérvese que $$ M_{Z\,\mid\, W=1}(t) = \operatorname{E}(e^{tZ}\mid W=1) = \operatorname{E}(e^{tX}) \\ M_{X\,\mid\,W=0}(t) = \operatorname{E}(e^{tZ}\mid W=0) = \operatorname{E}(e^{tY}) $$ así que $$ \operatorname{E}(e^{tZ}\mid W) = \begin{cases} \operatorname{E}(e^{tX}) & \text{with probability } 1/2, \\ \operatorname{E}(e^{tY}) & \text{with probability } 1/2. \end{cases} $$ Por lo tanto, $$ \operatorname{E}(\operatorname{E}(e^{tZ}\mid W)) = \frac 1 2 \operatorname{E}(e^{tX}) + \frac 1 2 \operatorname{E}(e^{tY}) = \frac{M_X(t) + M_Y(t)} 2, $$ así que $$ M_Z(t) = \frac{M_X(t) + M_Y(t)} 2. $$

La cuestión que implica $\displaystyle \int_0^1 M_X(tu)\,du$ es un poco más sutil. Tenga en cuenta que $$ M_X(tu)=\operatorname{E}(e^{tXu}) = \operatorname{E}(e^{tXU} \mid U=u), $$ así que $$ M_X(tU) = \operatorname{E}(e^{tXU} \mid U). $$ De ello se desprende que \begin{align} \int_0^1 M_X(tu) \,du = \operatorname{E}(M_X(tU)) = \operatorname{E}(\operatorname{E}(e^{tXU} \mid U)) = \operatorname{E}(e^{tXU}) = M_{XU}(t). \end{align}