Haga $L^P$ ¿las funciones forman un espacio métrico?

Question

Tengo una pregunta general sobre $L^P$ funciones.

He oído que $L^P$ forman un espacio vectorial. Mi pregunta es si podemos hacer que formen también un espacio métrico. ¿Y cuál es/son las posibles métricas? Me interesan sobre todo las funciones en el plano complejo y una posible métrica en términos de una norma en el espacio vectorial.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

En un espacio métrico, se requiere que $d(u, v) = 0$ si $u = v$ . Esto no es inmediatamente cierto para las funciones en $L^p$ ya que si $u \ne v$ pero $u = v$ [a.e], entonces $\|u - v\|_p = 0$ . Sin embargo, esto es fácil de arreglar.

En lugar de considerar las funciones individuales en $L^p$ se consideran las clases de equivalencia de la relación $u \sim v \iff u = v \text{ [a.e.]}$ . Cuando se habla de una función $u$ en el espacio métrico $L^p$ se está hablando realmente de la clase de equivalencia de todas las funciones que son iguales a $u$ [a.e.]. Así se garantiza que $d(u, v) = 0 \iff u = v$ .