Por qué Límite de $0/x$ $0$ si $x$ enfoques $0$?

Question

Podría ser una pregunta tonta, pero para mí no es obvio por qué la siguiente expresión se tiene:

$$ \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{0}{x}=0 ? $$

Answer 1

Un límite de $L$ de una función de $f(x)$ evaluado en un punto de $x = a$ no es necesariamente el valor de $f(a)$ sí. Es un valor para el que $f(x)$ enfoques $L$ "tan cerca como nos gusta" si realizamos $x$ "lo suficientemente cerca" , pero no es igual a $a$. La sutileza está en cómo nos matemáticamente formalizar el lenguaje entre comillas, que es cómo se llegó a la definición de Cauchy de límite:

Decimos que $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = L$ si, para cualquier $\epsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \epsilon$ siempre $0 < |x - a| < \delta$.

Por supuesto, no tenemos necesidad de apelar a una definición en este caso porque, como otros han señalado, $f(x) = 0/x = 0$ siempre $x \ne 0$; por lo tanto $$\lim_{x \to 0} \frac{0}{x} = \lim_{x \to 0} 0 = 0$$ directly, because again, the limit is evaluated by considering the behavior of $f(x)$ in a neighborhood of $ = 0$, not the value of $f(0)$.

Answer 2

$$\frac0{1}=0$$ $$\frac0{0.1}=0$$ $$\frac0{0.01}=0$$ $$\frac0{0.001}=0$$ $$\frac0{0.0001}=0$$ $$\frac0{0.00001}=0$$ $$\frac0{0.000001}=0$$ $$...$$

Answer 3

Tenga en cuenta que, para $x \neq 0$, $\dfrac{0}{x} = 0$ por lo $$\lim_{x \to 0}\frac{0}{x} = \lim_{x \to 0} 0 = 0.$$

Answer 4

Es muy sencillo:

El límite es el valor que la función de los enfoques en ese punto, en pocas palabras, depende de los vecinos de los valores de la función de toma.

Tomar un gráfico de la función $f(x)=\frac{0}{x}$:

A ver que, desde cualquier ángulo posible, el único valor de la función se acerca al $x\rightarrow0$ (o donde sea que en el universo conocido) es $0$.

Un escenario diferente aparecería con, por ejemplo, $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$. Aquí, usted puede ver en el gráfico que la línea de los enfoques $1$ a medida que se acerca a $x=0$, es por eso que este límite es igual a 1.

Y en ambos casos, $f(0) = \frac{0}{0}$. La función es, en ambos casos, sin definir en que el valor de $x$, pero el límite indica hacia que el valor de los enfoques.

Answer 5

Esto es cierto, simplemente porque como usted tome $x \to 0$ ( $x\ne 0$ ), tenemos $0/x=0$. (Pensar en la convergencia de la secuencia de $0,0,0,0,\ldots$.) Cuando usted toma el límite, no se preocupan por lo que sucede cuando $x=0$; sólo se preocupan por lo que sucede a su alrededor.