¿Por qué no tres unidades regulares triángulos cubierta de una unidad cuadrada?

Question

Un cuadrado con longitud de la arista $1$ área $1$. Un triángulo equilátero con la longitud de la arista $1$ área $\sqrt{3}/4 \aprox 0.433$. Así que tres triángulos tienen área $\aprox 1.3$, pero se requiere de cuatro triángulos para cubrir la plaza de la unidad, por ejemplo:

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Q. ¿Cómo puede ser demostrado que la unidad tres triángulos no puede cubrir una plaza de la unidad?

No estoy viendo una sencilla ruta para probar esto.

Answer 1

Supongamos que definimos de la esquina-el poder de un triángulo de la siguiente manera:

• Un triángulo recibe $1$ esquina-power point para cada esquina de la plaza que contiene excluyendo los vértices del triángulo.

• Un triángulo se $\frac{1}2$ de una esquina-power point para cada esquina de la plaza, que también es un vértice del triángulo.

Debe quedar claro que, para que un barrio de la plaza de la esquina a ser cubierto por un conjunto de triángulos, se debe:

• De estar dentro de un triángulo, pero no en el vértice.

• Estar contenidos como los vértices de dos triángulos.

Por lo tanto, una cubierta de la plaza debe tener al menos $4$ esquina-puntos de poder. Sin embargo, cada triángulo puede tener un rincón en su interior (1 punto) o los dos vértices de las esquinas (1 punto) por un máximo de $1$ punto. Tres triángulos se presenta en la mayoría de las 3 de la esquina-puntos de poder, que no es suficiente para cubrir una plaza.

Answer 2

(Esta fue la intención de ser un comentario, pero era demasiado largo).

Aquí es otro enfoque, pero un poco desordenado. Podemos calcular cuánto el perímetro de la plaza de un triángulo equilátero. Hay dos casos, uno en un lado de un triángulo es un lado de la plaza que da que un triángulo equilátero sólo puede tener longitud 1. El otro caso es donde una esquina de la plaza se encuentra en el interior del triángulo. WLOG, podemos asumir la esquina toca a un lado del triángulo dado que el movimiento de la esquina interior hasta hace sólo aumenta la longitud del perímetro en el interior del triángulo. Después de algunos cálculos, obtenemos que la longitud del perímetro en el interior del triángulo es en la mayoría de los $\frac{\sqrt{3}}2(1-x)+x$ donde $0 < x < 1$ que tiene un máximo de $1$ también.