Actualmente estoy estudiando las ODE con Matemáticas avanzadas para la ingeniería 10e (Kreyszig) y tenía una pregunta sobre la constante de integración al encontrar el factor integrador.
Actualmente estoy resolviendo un problema de ejercicio en la sección donde explican el uso del factor integrador para resolver EDOs lineales no homogéneas. Más concretamente:
Resuelve:
$$y' - 2y - x = 0$$
Mi enfoque es la siguiente:
Desde $y' - 2y = x$ podemos encontrar primero el factor integrador por:
$$ Fy' - 2Fy = xF$$
donde $-2F = F'$ . De aquí se deduce que:
$$ \begin{align} \frac{F'}{F} & = -2 \\ \left( \ln(F) \right)' & = -2 \\ \ln(F) & = -2x + C \\ F & = e^{-2x + C} \end{align} $$
Introduciendo esto en la ecuación anterior:
$$ \begin{align} e^{-2x + C}y' -2e^{-2x + C}y & = xe^{-2x + C} \\ \left( e^{-2x + C}y \right)' & = xe^{-2x + C} \\ e^{-2x + C} y & = -\frac{x}{2}e^{-2x + C_1}+C_2 \end{align} $$
Y aquí es donde me atasco. La razón por la que estoy confundido es porque no estoy seguro de cómo lidiar con las constantes de integración que he introducido en todo el proceso después de múltiples operaciones de integración.
¿Es correcto mi enfoque general? Y si es así, ¿cómo podría tratar las constantes de integración? Gracias.
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Desde $e^{\text{constant}}=\text{constant}$ , $e^{-2x+b}=e^b e^{-2x}= \alpha e^{-2x}$ . Usando esto, $\int x e^{-2x+b} \mathrm{d}x = \alpha \int x e^{-2x} \mathrm{d} x$ = $-\frac{\alpha}4 e^{-2x}(2x+1) + C$ Entonces, tenemos $\alpha e^{-2x}y = -\frac{\alpha}{4} e^{-2x}(2x+1)+C$ que puede simplificarse en $y(x)=-\frac14 (2x+1) +Ce^{-2x}$ a menos que haya cometido un error. A continuación, aplicar las condiciones iniciales. ¿Esto aclara algo?
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$y(x)=-\frac14 (2x+1) +Ce^{-2x}$ debe ser $y(x)=-\frac14 (2x+1) +C_1 e^{2x}$ donde $C_1=\alpha^{-1} C$ Siento el alboroto.