Cuándo incluir la constante de integración al hallar el factor integrador

Question

Actualmente estoy estudiando las ODE con Matemáticas avanzadas para la ingeniería 10e (Kreyszig) y tenía una pregunta sobre la constante de integración al encontrar el factor integrador.

Actualmente estoy resolviendo un problema de ejercicio en la sección donde explican el uso del factor integrador para resolver EDOs lineales no homogéneas. Más concretamente:

Resuelve:

$$y' - 2y - x = 0$$

Mi enfoque es la siguiente:

Desde $y' - 2y = x$ podemos encontrar primero el factor integrador por:

$$Fy' - 2Fy = xF$$

donde $-2F = F'$ . De aquí se deduce que:

$$\begin{align} \frac{F'}{F} & = -2 \\ \left( \ln(F) \right)' & = -2 \\ \ln(F) & = -2x + C \\ F & = e^{-2x + C} \end{align}$$

Introduciendo esto en la ecuación anterior:

$$\begin{align} e^{-2x + C}y' -2e^{-2x + C}y & = xe^{-2x + C} \\ \left( e^{-2x + C}y \right)' & = xe^{-2x + C} \\ e^{-2x + C} y & = -\frac{x}{2}e^{-2x + C_1}+C_2 \end{align}$$

Y aquí es donde me atasco. La razón por la que estoy confundido es porque no estoy seguro de cómo lidiar con las constantes de integración que he introducido en todo el proceso después de múltiples operaciones de integración.

¿Es correcto mi enfoque general? Y si es así, ¿cómo podría tratar las constantes de integración? Gracias.

Answer 1

La constante $C$ se cae en el proceso, es decir, el factor $e^C$ se cancela ya que está en ambos lados de

$$\left( e^{-2x + C}y \right)' = xe^{-2x + C}$$

La ecuación se simplifica en

$$\left( e^{-2x}y \right)' = xe^{-2x}$$

Entonces, integra,

$$e^{-2x}y = \int xe^{-2x} dx+ C_1= -\frac{x}{2}e^{-2x} —\frac{1}{4}e^{-2x}+C_1$$

Se termina con una sola constante, como era de esperar.

Answer 2

Sólo se necesita un factor de integración para el método de solución, por lo que se puede establecer la primera constante en $C=0$ (o seleccione cualquier otro valor conveniente para $C$ ). Entonces no es necesario combinar o compensar las diferentes constantes en una sola para la solución general.