Estimación bayesiana de la FCD

Question

Estoy bastante confundido con el siguiente problema, espero que alguien pueda aclararme:

Utilizando un enfoque bayesiano obtener estimaciones a posteriori y de intervalo para $\mathbf{F}_{X}(x)$ utilizando una distribución a priori Uniforme(0,1) para el parámetro $\theta$ (x) para una muestra determinada $x_1,x_2, \cdots, x_n$

Tengo conocimientos de Estadística Bayesiana, y sé que la FCD es en realidad una variable aleatoria Uniforme(0,1).

Pero aún así esto me confunde un poco, dado que una estimación puntual para el $F_X(x)$ bajo el enfoque frecuentista sería la Distribución Empírica $F_N(x)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^NI(X_i \leq x)$ pero es obvio que este no sería el caso del enfoque bayesiano.

E incluso lo que podría significar tener la misma distribución a priori que la del modelo (tanto a priori como $F_X(x)$ son $U$ ~ $(0,1)$

Al fin y al cabo no es más que un producto de la Probabilidad y la previa (sobre la integral que hace que esta se integre) \begin{align} p(\theta\mid X)&\propto p(X\mid\theta)p(\theta) \\ \end{align}

Entonces, ¿son correctos mis pensamientos sobre $p(X\mid\theta)$ siendo la probabilidad de un $U$ ~ $(0,1)$ ? ¿Y no es una tontería tomar la misma distribución que la anterior?

Answer 1

Las variables aleatorias $Z_i:=\mathbb{1}_{\{X_i\,\in\,B\}}$ para $i\in\{1,\ldots,n\}$ son i.i.d. $\text{Bernoulli}$ con parámetro desconocido $\theta=\mathbb{P}(X\in B).$ Utilizando un $\text{Uniform}(0,1)$ distribución a priori no informativa para $\theta$ la distribución posterior es $\text{Beta}(1+nT_n(B),1+n(1-T_n(B))).$ Bajo una penalización de pérdida cuadrática, la estimación puntual bayesiana para $\theta=\mathbb{P}(X\in B)$ es la posterior valor esperado que es la siguiente:

$$\theta^* \,=\, \frac{1+nT_n(B)}{2+n}$$