Convergencia de una determinada secuencia definida casi como una media

Question

Estoy atascado en el siguiente problema:

Demostrar o refutar: Si la secuencia $a_n$ converge a $0$ como $n\to\infty$ , entonces la secuencia $$ \frac{a_{n+1}+a_{n+2}+ \cdots + a_{2n}}{\sqrt{n}} $$ es convergente. La edición sugerida es incorrecta ...es un sub n+1 etc.....

Answer 1

Considere $a_n = n ^{-1/4}$ .

Entonces $a_n \to 0$ como $n \to \infty$ pero como $a_k > (2n)^{-1/4}$ para $k = n+1, \ldots,2n-1 $ tenemos

$$\frac1{\sqrt{n}}\sum_{k=n+1}^{2n}a_k > \frac{n}{(2n)^{1/4}n^{1/2}} = \frac{n^{1/4}}{2^{1/4}}\to \infty$$